Question

如图．反比倒函数y=

k

x

的图象与一次函散y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，-1）．一次函数y=mx+b的图象与x轴交于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）求△AC0的面积；
（3）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足该条件的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例的解析式，然后把B的坐标代入反比例解析式中求出n的值确定出点B的坐标，把A和B的坐标代入一次函数解析式中得到关于m和b的二元一次方程组，求出方程组的解得到m与b的值，确定出一次函数的解析式；
（2）令一次函数解析式中y=0求出点C的坐标，进而得到|OC|的长度即为三角形OCA的底，高为点A的纵坐标，利用三角形的面积公式即可求出△AC0的面积；
（3）由题意可知，找出点A关于y=x的对称点P₁，且找出P关于原点的对称点P₂，能使得点A，O，P构成等腰三角形．根据对称的特点写出P₁和P₂的坐标即可．

解答：解：（1）把点A（1，3）代入反比例解析式中得：k=3，
∴反比例解析式为y=

3

x

，
又把点B（n，-1）代入反比例解析式中得：n=-3，
即点B（-3，-1），A（1，3），又一次函数y=mx+b，
∴将A和B代入一次函数得：

m+b=3 -3m+b=-1

，解得

m=1 b=2

，
∴一次函数解析式为y=x+2；

（2）由y=x+2，令y=0，解得x=-2，则|OC|=2，点A的纵坐标为3，
故△AC0的面积S=

1

2

|OC|•3=3；

（3）P（3，1）或P（-3，-1）．

点评：此题考查学生掌握确定函数解析式的方法：反比例需要一个点坐标确定，一次函数需要两点坐标确定；掌握等腰三角形的判断方法以及有关对称点的特点，是一道中档题．