Question

如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求m的值；
（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S₁，是四边形OACD面积S的？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于反比例函数的图象都经过点A（3，3），由此可以确定函数的解析式，又把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），把B的坐标代入反比例函数的解析式即可确定m的值；
（2）由于直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点，由此首先确定直线BD的解析式，接着可以确定C，D的坐标，最后利用待定系数法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）如图，利用（1）（2）知道四边形OACD是梯形，利用已知条件可以求出其面积，设E的横坐标为x，那么利用x可以表示其纵坐标，也可以表示△OEC的面积，而△OCD的面积可以求出，所以根据四边形OECD的面积S₁，是四边形OACD面积S的即可列出关于x的方程，利用方程即可解决问题．
解答：解：（1）∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），
∴经过点A的反比例函数解析式为：y=，
而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），
∴m==；

（2）∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，），
与x轴、y轴分别交于C、D两点，
而这些OA的解析式为y=x，
设直线CD的解析式为y=x+b，
代入B的坐标得：=6+b，
∴b=-4.5，
∴直线OC的解析式为y=x-4.5，
∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，-4.5），
设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
分别把A、B、D的坐标代入其中得：
，
解之得：a=-0.5，b=4，c=-4.5
∴y=-0.5x²+4x-4.5；

（3）如图，设E的横坐标为x，
∴其纵坐标为-0.5x²+4x-4.5，
∴S₁=（-0.5x²+4x-4.5+OD）×OC，
=（-0.5x²+4x-4.5+4.5）×4.5，
=（-0.5x²+4x）×4.5，
而S=（3+OD）×OC=（3+4.5）×4.5=，
∴（-0.5x²+4x）×4.5=×，
解之得x=4±，
∴这样的E点存在，坐标为（4-，0.5），（4+，0.5）．
点评：本题考查点的坐标的求法及利用待定系数法确定二次函数解析式．此题也为数学建模题，借助一元二次方程解决探究问题．