Question

【题目】在直角坐标系中，、，将经过旋转、平移变化后得到如图1所示的.

（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；

（2）连结，点是位于线段上方的抛物线上一动点，若直线将的面积分成两部分，求此时点的坐标；

（3）现将、分别向下、向左以的速度同时平移，求出在此运动过程中与重叠部分面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先根据平移性质写出C点坐标，设经过、、三点的抛物线解析式为，然后将A,B,C三点坐标代入解析式，求出a,b,c即可确定此抛物线解析式；（2）分两种情况计算，设直线与交于点. ∵直线将的面积分成两部分，∴或，过作于点，则∥.∴∽,∴.∴当时，，能求出EF,BF,的长度，再求出OF的长度，于是E点坐标确定，直线EC的解析式也就知道了，因为P点在直线EC上，又在抛物线上，列两解析式相等，即可求出P点横坐标，代入两个中任何一个解析式就可求出P点纵坐标.当时，同样有，于是有，同样求出EF,BF,的长度，再求出OF的长度，确定E点坐标及直线EC的解析式，列两解析式相等，进而求出P点坐标；（3）设向下平移的距离为，则△CBD向左平移的距离为2t，与重叠部分的面积为.当C点向左平移到A1B1边上时，两三角形重叠部分由四边形变为直角三角形，算出t=，即当时，与重叠部分为四边形.设与轴交于点，与轴交于点，与交于点，连结.由已知求出的解析式，的解析式，与轴交点坐标，与轴交点坐标，两个解析式联立求出Q点坐标，建立重叠部分S与t的二次函数并算出最大值.平移过程中当D点与交于x轴同一点时，这时重叠部分为0，算出t=，即当时，与重叠部分为直角三角形.设与轴交于点， 与交于点.则，利用三角形相似或平移的距离表示出重叠部分三角形的底和高，建立S与t的二次函数，算出最大值，两种情况进行比较，得出结论.

试题解析：（1）由题意可知、，将经过旋转、平移变化得到如图所示的，

∴.∴.设经过、、三点的抛物线解析式为，则有，解得：. ∴经过、、三点的抛物线的解析式为；（2）如图4.1所示，设直线与交于点. ∵直线将的面积分成两部分，∴或，过作于点，则∥.∴∽,∴.∴当时，有，∴，∴.设直线解析式为，将E,C两点坐标代入，则可求得其解析式为，∴，解得（舍去），∴；当时，同样有∽,∴.即，解得EF= ,BF= ,OF=，所以E(-,),设直线解析式为，将E,C两点坐标代入，则可求得其解析式为，于是有，整理得：，解得（舍去），将代入直线EC解析式求出y=,所以.综上所述点P的坐标为，；

（3）设向下平移的距离为，则△CBD向左平移的距离为2t，与重叠部分的面积为.可由已知求出的解析式为，与轴交点坐标为. 的解析式为，与轴交点坐标为. ①当C点向左平移到A1B1边上时，两三角形重叠部分由四边形变为直角三角形，由平行相似可得关系式：，解得t=,即当时，与重叠部分为四边形.如图4.2所示，设与轴交于点，与轴交于点，与交于点，连结.由，得，解得.∴.即当t=时的最大值为.②平移过程中当D点与交于x轴同一点时，这时重叠部分面积为0，由DO∥可得关系式：,解得t=如图所示，即当时，与重叠部分为直角三角形. 设与轴交于点， 与交于点.G点横坐标为1-2t,设G点纵坐标为x，则，解得x=4-5t,于是G点坐标为，则，.∴.即当t=时，S最大值是，∴当时，的最大值为.因为<,所以在此运动过程中与重叠部分面积的最大值为.