题目内容
如图,B,C,E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形.连接BG,DE.
(1)观察猜想BG与DE之间的关系,并证明你的猜想;
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请指出,并说出旋转过程;若不存在,请说明理由.
(3)延长BG交DE于H.当AB=6cm.CE=2cm时.求BH的长.
(1)观察猜想BG与DE之间的关系,并证明你的猜想;
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请指出,并说出旋转过程;若不存在,请说明理由.
(3)延长BG交DE于H.当AB=6cm.CE=2cm时.求BH的长.
分析:(1)猜想BG⊥DE,且BG=DE.运用勾股定理证明BG=DE.延长BG与DE交于H点,根据∠DGH+∠GDF=90°可以证明∠DHG=90°,即BG⊥DE;
(2)存在,△BCG和△DCE可以通过旋转重合.利用△BCG≌△DCE即可得出.
(3)首先得出△BGC∽△DGH,进而得出
=
,求出GH的长,再利用勾股定理求出BG的长,即可得出答案.
(2)存在,△BCG和△DCE可以通过旋转重合.利用△BCG≌△DCE即可得出.
(3)首先得出△BGC∽△DGH,进而得出
CG |
GH |
BG |
DG |
解答:解:(1)BG⊥DE,且BG=DE.理由如下:
延长BG与DE交于H点.
在直角△BCG中,BG=
,
在直角△DCE中,DE=
,
∵BC=DC,CG=CE,
∴BG=DE.
在△BCG和△DCE中,
,
∴△BCG≌△DCE,
∴∠BGC=∠DEC,BG=DE,
又∵∠BGC=∠DGH,∠DEC+∠CDE=90°,
∴∠DGH+∠GDH=90°,∴∠DHG=90°,
故BG⊥DE,且BG=DE;
(2)存在,△BCG≌△DCE,(1)中已证明,
且△BCG和△DCE有共同顶点C,则△DCE沿C点逆时针旋转90°与△BCG重合;
(3)由(1)得出:
∵BG⊥DE,∴∠DHG=90°,
∵∠BCG=90°,
∴∠DHG=∠BCG,
∵∠DGH=∠BGC,
∴△BGC∽△DGH,
∴
=
,
∵AB=6cm.CE=2cm,
∴BC=6cm,CG=2cm,DG=4cm,BG=
=
=2
cm,
∴
=
,
解得:GH=
cm,
∴BH=2
+
=
cm.
延长BG与DE交于H点.
在直角△BCG中,BG=
BC2+CG2 |
在直角△DCE中,DE=
DC2+CE2 |
∵BC=DC,CG=CE,
∴BG=DE.
在△BCG和△DCE中,
|
∴△BCG≌△DCE,
∴∠BGC=∠DEC,BG=DE,
又∵∠BGC=∠DGH,∠DEC+∠CDE=90°,
∴∠DGH+∠GDH=90°,∴∠DHG=90°,
故BG⊥DE,且BG=DE;
(2)存在,△BCG≌△DCE,(1)中已证明,
且△BCG和△DCE有共同顶点C,则△DCE沿C点逆时针旋转90°与△BCG重合;
(3)由(1)得出:
∵BG⊥DE,∴∠DHG=90°,
∵∠BCG=90°,
∴∠DHG=∠BCG,
∵∠DGH=∠BGC,
∴△BGC∽△DGH,
∴
CG |
GH |
BG |
DG |
∵AB=6cm.CE=2cm,
∴BC=6cm,CG=2cm,DG=4cm,BG=
BC2+CG2 |
62+22 |
10 |
∴
2 |
GH |
2
| ||
4 |
解得:GH=
2
| ||
5 |
∴BH=2
10 |
2
| ||
5 |
12
| ||
5 |
点评:本题考查了旋转性质、全等三角形性质和判定、以及相似三角形的性质与判定和勾股定理等知识点的运用,关键是证出△BCG≌△DCE,主要训练学生的推理能力和观察图形的能力.
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