Question

（2008•雅安）已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点（0，3a），对称轴为x=1．
（1）试用含a的代数式表示b、c．
（2）当抛物线与直线y=x-1交于点（2，1）时，求此抛物线的解析式．
（3）求当b（c+6）取得最大值时的抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线与y轴的交点可以得到c与a的关系，根据对称轴可以得到b与a的关系；
（2）间已知点的坐标代入函数关系式并结合上题求得的系数的关系得到a、b、c的值即可求得其解析式；
（3）b（c+6）=-2a（3a+6）=-6a²-12a=-6（a+1）²+6，从而确定a的值，确定二次函数的解析式后即可确定其顶点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3a）
∴c=3a
∵对称轴为=1，
∴x=-

b

2a

=1
∴b=-2a；

（2）∵抛物线与直线y=x-1交于点（2，1），
∴（2，1）在抛物线上，
∴1=a×2²+2（-2a）+3a
∴a=

1

3

∴b=-2a=-

2

3

  c=3a=1
∴抛物线为y=

1

3

x²-

2

3

x+1；

（3）∵b（c+6）=-2a（3a+6）=-6a²-12a=-6（a+1）²+6
当a=-1时，b（c+6）的最大值为6；
∴抛物线y=-x²+2x-3=-（x-1）²-2
故抛物线的顶点坐标为（1，-2）．

点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值及待定系数法确定二次函数的解析式，正确的利用三个系数之间的关系是解决本题的关键．