Question

在实施漓江补水工程中，某水库需要将一段护坡土坝进行改造．在施工质量相同的情况下，甲、乙两施工队给出的报价分别是：甲施工队先收启动资金1000元，以后每填土1立方米收费20元，乙施工队不收启动资金，但每填土1立方米收费25元．
（1）设整个工程需要填土为X立方米，选择甲施工队所收的费用为Y_甲元，选择乙施工队所收的费用为Y_乙元．请分别写出Y_甲、Y_乙、关于X的函数关系式；
（2）如图，土坝的横截面为梯形，现将背水坡坝底加宽2米，即BE=2米，已知原背水坡长AB=4，土坝与地面的倾角∠ABC=60度，要改造100米长的护坡土坝，选择哪家施工队所需费用较少？
（3）如果整个工程所需土方的总量X立方米的取值范围是100≤X≤800，应选择哪家施工队所需费用较少？

Answer 1

解：（1）由题意，y_甲=1000+20x，y_乙=25x；

（2）如图，过A作AF⊥BC于F，
∵∠ABC=60°，AB=4，
∴AF=6，
∴S_△ABE=BE•AF=6，
∴100米长的护坡土坝的土方的总量为6×100=600，
当x=600时，y_甲=13000；y_乙=15000，
∴选择甲施工队所需费用较少；

（3）①当y_甲=y_乙，则1000+20x=25x，
∴x=200，
②当x＞200时，y_甲＜y_乙；
③当0＜x＜200时，y_甲＞y_乙．
∴当100＜x＜200时，选择乙工程队；
当x＞200时，选择甲工程队；
当x=200时，甲乙一样．
分析：（1）容易知道所求的函数关系是一次函数，所以函数关系式比较好求；
（2）首先过A作AF⊥BC于F，然后解直角三角形求出AF，这样可以求出△ABE的面积，在计算它的体积，就知道所需土方的总量，然后选择施工队；
（3）根据（1）的函数关系式可以直接确定选择哪家施工队合算．
点评：此题既考查了待定系数法确定一次函数的解析式，也考查了解直角三角形和三角形的面积的计算，同时还考查了利用一次函数解决实际问题．