Question

28、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）试着把28、2012写成平方差的形式，即可判断是否是神秘数；
（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，则（2k+1）²（2k-1）²=8k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．

解答：解：（1）28=4×7=8²-6²；2012=4×503=504²-502²，
所以是神秘数；
（2）（2k+2）²-（2k）²=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，
则（2k+1）²（2k-1）²=8k，
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．

点评：此题考查的知识点是因式分解的应用，同时考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．