Question

如图矩形ABCD中，过A，B两点的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，连接EF．
（1）求证：∠CEF=∠BAH；
（2）若BC=2CE=6，求BF的长．

Answer 1

分析：（1）根据弦切角定理得到∠FEC=∠EBC，根据等角的余角相等得到∠BAH=∠EBC，从而根据等量代换进行证明；
（2）根据切割线定理EC²=CF•BC，计算得到CF的长，再进一步计算BF的长．

解答：（1）证明：∵CD切⊙O于E，
∴∠FEC=∠EBC．
∵ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBC=90°．
∵AH⊥BE，
∴∠BAH=∠EBC，
∴∠FEC=∠BAH．

（2）解：∵EC切⊙O于E，
∴EC²=CF•BC．
∵BC=2CE=6，
∴3²⁼CF•6，
∴CF=

3

2

．
∴BF=BC-CF=6-

3

2

=

9

2

．

点评：综合运用了弦切角定理、切割线定理以及等角的余角相等的性质．