题目内容
【题目】如图,已知抛物线经过A(3,0),B(0,3)两点.
(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式;
(2)如图①,动点E从O点出发,沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时,动点F从A点出发,沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动,当E,F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动,连接EF,设运动时间为t秒,当t为何值时,△AEF为直角三角形?
(3)如图②,取一根橡皮筋,两端点分别固定在A,B处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P与A,B两点构成无数个三角形,在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点P的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
【答案】(1),y=﹣x+3;(2);(3)存在面积最大,最大是,此时点P(,).
【解析】
试题分析:(1)用待定系数法求出抛物线,直线解析式;
(2)分两种情况进行计算即可;
(3)确定出面积达到最大时,直线PC和抛物线相交于唯一点,从而确定出直线PC解析式,根据锐角三角函数求出BD,计算即可.
试题解析:(1)∵抛物线经过A(3,0),B(0,3)两点,∴,∴,∴,设直线AB的解析式为y=kx+n,∴,∴,∴y=﹣x+3;
(2)由运动得,OE=t,AF=t,∴AE=OA﹣OE=3﹣t,∵△AEF为直角三角形,∴①△AOB∽△AEF,∴,∴,∴t=,②△AOB∽△AFE,∴,∴,∴t=;
(3)如图,存在,过点P作PC∥AB交y轴于C,∵直线AB解析式为y=﹣x+3,∴设直线PC解析式为y=﹣x+b,联立,∴,∴,∴△=9﹣4(b﹣3)=0,∴b=,∴BC=﹣3=,x=,∴ P(,).
过点B作BD⊥PC,∴直线BD解析式为y=x+3,∴BD=,∴BD=,∵AB=,S最大=AB×BD==.
即:存在面积最大,最大是,此时点P(,).