Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=AD (n为大于2的整数)，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．

(1)试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；

(2)当AB=a(a为常数)，n=3时，求FG的长；

(3)记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当时，求n的值．(直接写出结果，不必写出解答过程)

Answer 1

【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）；（3）6.

【解析】试题分析：（1）根据矩形和线段垂直平分线的性质，由AAS证明ΔBOF≌ΔBOG，得到BG＝GE＝EF＝FB，从而得出四边形BFEG是菱形的结论.

（2）根据矩形和菱形的性质，反复应用勾股定理即可求得FG的长.

（3）同（2）的思路，应用特殊元素法，列出关于n的方程求解即可.

试题解析：（1）（1）菱形，理由如下：

∵FG为BE的垂直平分线，∴FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO.

又∵FE∥BG，∴∠FEB＝∠GBO. ∴∠FBO＝∠GBO，BO＝BO，∠BOF＝∠BOG.

∴ΔBOF≌ΔBOG（AAS）. ∴BF＝BG.

∴BG＝GE＝EF＝FB. ∴BFEG为菱形.

（2）∵AB＝a，AD=2AB， ，∴AD＝2a， .

∴根据勾股定理，得 BE＝. ∴OE＝.

设菱形BFEG的边长为x，

∵AB2＋AF2＝BF2，

∴，解得：x＝.

∴OF＝.

∴FG＝.

（3）n＝6.