题目内容
【题目】已知:如图1,∠ACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点,连接AB,将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB,过点D作DF⊥CG于点F.
(1)当BC= 时,判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系,并加以证明;
(2)如图2,点B在CG上向点C运动,直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点,连接AH,当∠CAB=∠BAD=∠DAH时,求BC的长.
【答案】(1)直线FD与以AB为直径的⊙O相切,理由见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)根据已知及切线的判定证明得,直线FD与以AB为直径的⊙O相切;
(2)根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析,从而求得BC的长.
试题解析:
(1)判断:直线FD与以AB为直径的⊙O相切.
证明:如图,
作以AB为直径的⊙O;
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的,
∴△ADB≌△ACB,
∴∠ADB=∠ACB=90°.
∵O为AB的中点,连接DO,
∴OD=OB=AB,
∴点D在⊙O上.
在Rt△ACB中,BC=,AC=2;
∴tan∠CAB==
,
∴∠CAB=∠BAD=30°,
∴∠ABC=∠ABD=60°,
∴△BOD是等边三角形.
∴∠BOD=60°.
∴∠ABC=∠BOD,
∴FC∥DO.
∵DF⊥CG,
∴∠ODF=∠BFD=90°,
∴OD⊥FD,
∴FD为⊙O的切线.
(2)延长AD交CG于点E,
同(1)中的方法,可证点C在⊙O上;
∴四边形ADBC是圆内接四边形.
∴∠FBD=∠1+∠2.
同理∠FDB=∠2+∠3.
∵∠1=∠2=∠3,
∴∠FBD=∠FDB,
又∠DFB=90°.
∴EC=AC=2.
设BC=x,则BD=BC=x,
∵∠EDB=90°,
∴EB=x.
∵EB+BC=EC,
∴x+x=2,
解得x=2﹣2,
∴BC=2﹣2.

【题目】某校组织“国学经典”诵读比赛,参赛10名选手的得分情况如表所示:
分数/分 | 80 | 85 | 90 | 95 |
人数/人 | 3 | 4 | 2 | 1 |
那么,这10名选手得分的中位数和众数分别是( )
A.85.5和80B.85.5和85C.85和82.5D.85和85