题目内容

【题目】已知:如图1,∠ACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点,连接AB,将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB,过点D作DF⊥CG于点F.

(1)当BC= 时,判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系,并加以证明;

(2)如图2,点B在CG上向点C运动,直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点,连接AH,当∠CAB=∠BAD=∠DAH时,求BC的长.

【答案】(1)直线FD与以AB为直径的⊙O相切,理由见解析;(2) .

【解析】试题分析:(1)根据已知及切线的判定证明得,直线FD与以AB为直径的⊙O相切;

(2)根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析,从而求得BC的长.

试题解析:

(1)判断:直线FD与以AB为直径的⊙O相切.

证明:如图,

作以AB为直径的⊙O;

∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的,

∴△ADB≌△ACB,

∴∠ADB=∠ACB=90°.

∵O为AB的中点,连接DO,

∴OD=OB=AB,

∴点D在⊙O上.

在Rt△ACB中,BC=,AC=2;

∴tan∠CAB==

∴∠CAB=∠BAD=30°,

∴∠ABC=∠ABD=60°,

∴△BOD是等边三角形.

∴∠BOD=60°.

∴∠ABC=∠BOD,

∴FC∥DO.

∵DF⊥CG,

∴∠ODF=∠BFD=90°,

∴OD⊥FD,

∴FD为⊙O的切线.

(2)延长AD交CG于点E,

同(1)中的方法,可证点C在⊙O上;

∴四边形ADBC是圆内接四边形.

∴∠FBD=∠1+∠2.

同理∠FDB=∠2+∠3.

∵∠1=∠2=∠3,

∴∠FBD=∠FDB,

又∠DFB=90°.

∴EC=AC=2.

设BC=x,则BD=BC=x,

∵∠EDB=90°,

∴EB=x.

∵EB+BC=EC,

x+x=2,

解得x=2﹣2,

∴BC=2﹣2.

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