题目内容
【题目】如图,点P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线,切点为A,连接PO并延长,交⊙O于B、C两点.
(1)求证:△PBA∽△PAC;
(2)若∠BAP=30°,PB=2,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明见解析(2)2
【解析】
(1)利用弦切角定理可以证明:∠PAB=∠C,则△PBA和△PAC中有两个角对应相等,则一定相似;
(2)易证△OAB是等边三角形,再证明AB=BP,即可求解.
(1)证明:∵PA作⊙O的切线,切点为A,
∴∠PAB=∠C,
又∵∠P=∠P,
∴△PBA∽△PAC;
(2)∵PA作⊙O的切线,切点为A,
∴∠OAP=90°,
∵∠BAP=30°,
∴∠OAB=60°,
∵OA=OB,
∴∠ABO=60°,
∴∠P=30°
∴∠AOB=90°﹣∠P=90°﹣30°=60°.
∵OA=OB
∴△OAB是等边三角形.
∴OB=AB.
∵PA作⊙O的切线,切点为A,
∴∠PAB=∠AOB=30°,
∴∠PAB=∠P,
∴AB=BP
∴OB=AB=BP=2.

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