题目内容
(2013年四川眉山8分)如图,某防洪指挥部发现长江边一处长500米,高10米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3米,加固后背水坡EF的坡比i=1:.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF;
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?(结果保留根号)
【答案】
解:(1)分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H。
∵四边形ABCD是梯形,且AB∥CD,
∴DHEG。
∴四边形EGHD是矩形。∴ED=GH。
在Rt△ADH中,
AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10(米),
在Rt△FGE中,,
∴FG=EG=10(米)。
∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7(米)。
答:加固后坝底增加的宽度AF为(10﹣7)米。
(2)加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×(3+10﹣7)×10×500=2500010000(立方米)。
答:完成这项工程需要土石(25000﹣10000)立方米。
【解析】(1)分别过E、D作AB的垂线,设垂足为G、H.在Rt△EFG中,根据坡面的铅直高度(即坝高)及坡比,即可求出水平宽FG的长;同理可在Rt△ADH中求出AH的长;由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长。
(2)已知了梯形AFED的上下底和高,易求得其面积.梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积。
考点:解直角三角形的应用(坡度坡角问题),锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
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