Question

（2012•黑龙江）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅…，过A₁、A₂、A₃、A₄、A₅…分别作x轴的垂线与反比例函数y=

4

x

的图象交于点P₁、P₂、P₃、P₄、P₅…，并设△OA₁P₁、△A₁A₂P₂、△A₂A₃P₃…面积分别为S₁、S₂、S₃…，按此作法进行下去，则S_n的值为

2

n

（n为正整数）．

Answer 1

分析：根据反比例函数y=

k

x

中k的几何意义再结合图象即可解答．

解答：解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=

1

2

|k|=2．
又因为OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅
所以S₁=2，S₂=

1

2

S₁=1，S₃=

1

3

S₁=

2

3

，S₄=

1

4

S₁=

2

4

，S₅=

1

5

S₁=

2

5

．
依此类推：S_n的值为

2

n

．
故答案是：

2

n

．

点评：主要考查了反比例函数y=

k

x

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=

1

2

|k|．