题目内容
23、三等分角仪--把材料制成如图所示的阴影部分的形状，使AB与半圆的半径CB、CD相等，PB垂直于AD．这便做成了“三等分角仪”．如果要把∠MPN三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN上，适当调整它的位置，使PB通过角的顶点P，使A点落在角的PM边上，使角的另一边与半圆相切于E点，最后通过B、C两点分别作两条射线PB、PC，则∠MPB=∠BPC=∠CPN．请用推理的方法加以证明．分析：由题意得出AP=AC，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠MPB=∠CPB，再根据PB⊥BC且BC为半圆的直径，得∠BPC=∠CPN，则．∠MPB=∠BPC=∠CPN．
解答：解：∵AB=BC，PB⊥AC，
∴AP=PC，
∴∠MPB=∠CPB，（4分）
∵PB⊥BC且BC为半圆的直径，
∴PB为半圆的切线，（6分）
又∵PN为半圆的切线，
∴∠BPC=∠CPN，
∴∠MPB=∠BPC=∠CPN． （8分）
∴AP=PC，
∴∠MPB=∠CPB，（4分）
∵PB⊥BC且BC为半圆的直径，
∴PB为半圆的切线，（6分）
又∵PN为半圆的切线，
∴∠BPC=∠CPN，
∴∠MPB=∠BPC=∠CPN． （8分）
点评：本题考查了切线的判定和性质，是一个实际应用，验证一个三等分角仪．
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射线PB、PC，则∠MPB=∠BPC=∠CPN．请用推理的方法加以证明．