Question

如图，△ADE和△ABC中∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，又有∠BAD=∠BCF．
（1）求∠ECF+DAC+∠ECA的度数；
（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．

Answer 1

解：（1）∵∠ECF=∠ECB+∠BCF，
∴∠ECF+∠DAC+∠ECA
=（∠ECB+∠BCF）+∠DAC+∠ECA （∠BCF=∠BAD）
=（∠ECB+∠ECA）+（∠DAC+∠BAD）
=∠BCA+∠BAC
=45°+45°
=90°
即∠ECF+DAC+∠ECA=90°；

（2）ED和FC平行，理由如下：
∵∠EAD=∠AED=45°，
∴∠EDA=90°，
∴在C，E，D，A四点组成的凹四边形里，
∠ECA+∠CED+∠CAD=∠EDA=90°
又∵（1）的结论是∠ECF+DAC+∠ECA=90°，
∴∠CED=∠ECF，
∴DE∥CF（内错角相等，两直线平行）．
分析：（1）由题意易得∠ECF+DAC+∠ECA=45°+∠BCF+45°-∠BCF=90°；
（2）由凹四边形ADEC得内角和是360°以及已知易得∠ADE=90°，可得∠ECA+∠CED+∠CAD=∠EDA=90°，又（1）的结论是∠ECF+DAC+∠ECA=90°，∴∠CED=∠ECF，因此由内错角相等即知DE∥CF．
点评：此题主要考查了角之间的和差关系、四边形的内角和、平行线的判定等知识点，有点难度，特别是凹四边形的应用不太常见．