题目内容
(2012•海南)如图(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分别翻折,使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处,折痕分别为CM、AN,
(1)求证:△ADN≌△CBM;
(2)请连接MF、NE,证明四边形MFNE是平行四边形;四边形MFNE是菱形吗?请说明理由;
(3)点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点,连接PQ、CQ、MN,如图(2)所示,若PQ=CQ,PQ∥MN,且AB=4cm,BC=3cm,求PC的长度.
(1)求证:△ADN≌△CBM;
(2)请连接MF、NE,证明四边形MFNE是平行四边形;四边形MFNE是菱形吗?请说明理由;
(3)点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点,连接PQ、CQ、MN,如图(2)所示,若PQ=CQ,PQ∥MN,且AB=4cm,BC=3cm,求PC的长度.
分析:(1)根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠ACM,从而根据AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM,从而即可判断出△ADN≌△CBM.
(2)连接NE、MF,根据(1)的结论可得出NF=ME,再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME,在直角三角形NFE中,NE为斜边,NF为直角边,可判断四边形MFNE不是菱形.
(3)设AC与MN的交点为O,EF=x,作QG⊥PC于G点,首先求出AC=5,根据翻折变换知:AF=CE=3,于是可得AF+(CE-EF)=5,可得EF=1,在Rt△CFN中,NF=tan∠NCF•CF,在Rt△NFE中,NO2=NF2+OF2,求出NO的长,即NM=PQ=QC=2NO,PC=2
.
(2)连接NE、MF,根据(1)的结论可得出NF=ME,再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME,在直角三角形NFE中,NE为斜边,NF为直角边,可判断四边形MFNE不是菱形.
(3)设AC与MN的交点为O,EF=x,作QG⊥PC于G点,首先求出AC=5,根据翻折变换知:AF=CE=3,于是可得AF+(CE-EF)=5,可得EF=1,在Rt△CFN中,NF=tan∠NCF•CF,在Rt△NFE中,NO2=NF2+OF2,求出NO的长,即NM=PQ=QC=2NO,PC=2
PQ2-QG2 |
解答:(1)证明:由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠ACM,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∴∠DAN=∠BCM,
在Rt△ADN和Rt△CBM中,
∵
,
∴△ADN≌△CBM,
(2)解:连接NE、MF,
∵△ADN≌△CBM,
∴NF=ME,
∵∠NFE=∠MEF,
∴NF∥ME,
∴四边形MFNE是平行四边形,
∵MN与EF不垂直,
∴四边形MFNE不是菱形;
(3)解:设AC与MN的交点为O,EF=x,作QG⊥PC于G点,
∵AB=4,BC=3,
∴AC=5,
∵AF=CE=BC=3,
∴2AF-EF=AC,即6-x=5,
解得x=1,
∴EF=1,
∴CF=2,
在Rt△CFN中,tan∠DCA=
=
=
,
解得NF=
,
∵OE=OF=
EF=
,
∴在Rt△NFO中,ON2=OF2+NF2,
∴ON=
,
∴MN=2ON=
,
∵PQ∥MN,PN∥MQ,
∴四边形MQPN是平行四边形,
∴MN=PQ=
,
∵PQ=CQ,
∴△PQC是等腰三角形,
∴PG=CG,
在Rt△QPG中,
PG2=PQ2-QG2,即PG=
=1,
∴PC=2PG=2.
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∴∠DAN=∠BCM,
在Rt△ADN和Rt△CBM中,
∵
|
∴△ADN≌△CBM,
(2)解:连接NE、MF,
∵△ADN≌△CBM,
∴NF=ME,
∵∠NFE=∠MEF,
∴NF∥ME,
∴四边形MFNE是平行四边形,
∵MN与EF不垂直,
∴四边形MFNE不是菱形;
(3)解:设AC与MN的交点为O,EF=x,作QG⊥PC于G点,
∵AB=4,BC=3,
∴AC=5,
∵AF=CE=BC=3,
∴2AF-EF=AC,即6-x=5,
解得x=1,
∴EF=1,
∴CF=2,
在Rt△CFN中,tan∠DCA=
NF |
CF |
BC |
AB |
3 |
4 |
解得NF=
3 |
2 |
∵OE=OF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴在Rt△NFO中,ON2=OF2+NF2,
∴ON=
| ||
2 |
∴MN=2ON=
10 |
∵PQ∥MN,PN∥MQ,
∴四边形MQPN是平行四边形,
∴MN=PQ=
10 |
∵PQ=CQ,
∴△PQC是等腰三角形,
∴PG=CG,
在Rt△QPG中,
PG2=PQ2-QG2,即PG=
10-9 |
∴PC=2PG=2.
点评:本题主要考查翻折变换的知识点,还涉及平行四边形、菱形的证明,解答(3)问的关键是求出EF的长,此题难度较大,要熟练掌握此类试题的解答,此类题经常出现中考试卷中,请同学们关注.
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