Question

跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面 的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点o为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax²+bx+0.9．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果身高为157.5厘米的小明站在OD之间且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合函数图象，求出t的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意得点E（1，1.4），B（6，0.9），
代入y=ax²+bx+0.9，得：，
解得：．
故所求的抛物线的解析式为：y=-0.1x²+0.6x+0.9；

（2）157.5cm=1.575m，
当y=1.575时，-0.1x²+0.6x+0.9=1.575，
解得：x₁=，x₂=，
则＜t＜．
分析：（1）已知抛物线解析式y=ax²+bx+0.9，选定抛物线上两点E（1，1.4），B（6，0.9）坐标代入即可得出a、b的值，继而得出抛物线解析式；
（2）求出y=1.575时，对应的x的两个值，从而可确定t的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．