题目内容
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(1)求点B的坐标;
(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.
①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC.求点P的坐标;
②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.
分析:(1)由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1,交x轴于A、B两点,其中A点的坐标为(-3,0),根据二次函数的对称性,即可求得B点的坐标;
(2)①a=1时,先由对称轴为直线x=-1,求出b的值,再将B(1,0)代入,求出二次函数的解析式为y=x2+2x-3,得到C点坐标,然后设P点坐标为(x,x2+2x-3),根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程,解方程求出x的值,进而得到点P的坐标;
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3,再设Q点坐标为(x,-x-3),则D点坐标为(x,x2+2x-3),然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值.
(2)①a=1时,先由对称轴为直线x=-1,求出b的值,再将B(1,0)代入,求出二次函数的解析式为y=x2+2x-3,得到C点坐标,然后设P点坐标为(x,x2+2x-3),根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程,解方程求出x的值,进而得到点P的坐标;
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3,再设Q点坐标为(x,-x-3),则D点坐标为(x,x2+2x-3),然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值.
解答:解:(1)∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,
∴A、B两点关于直线x=-1对称,
∵点A的坐标为(-3,0),
∴点B的坐标为(1,0);
(2)①a=1时,∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1,
∴
=-1,解得b=2.
将B(1,0)代入y=x2+2x+c,
得1+2+c=0,解得c=-3.
则二次函数的解析式为y=x2+2x-3,
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,-3),OC=3.
设P点坐标为(x,x2+2x-3),
∵S△POC=4S△BOC,
∴
×3×|x|=4×
×3×1,
∴|x|=4,x=±4.
当x=4时,x2+2x-3=16+8-3=21;
当x=-4时,x2+2x-3=16-8-3=5.
∴点P的坐标为(4,21)或(-4,5);
②设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(-3,0),C(0,-3)代入,
得
,解得
,
即直线AC的解析式为y=-x-3.
设Q点坐标为(x,-x-3)(-3≤x≤0),则D点坐标为(x,x2+2x-3),
QD=(-x-3)-(x2+2x-3)=-x2-3x=-(x+
)2+
,
∴当x=-
时,QD有最大值
.
∴A、B两点关于直线x=-1对称,
∵点A的坐标为(-3,0),
∴点B的坐标为(1,0);
(2)①a=1时,∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1,
∴
-b |
2 |
将B(1,0)代入y=x2+2x+c,
得1+2+c=0,解得c=-3.
则二次函数的解析式为y=x2+2x-3,
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,-3),OC=3.
设P点坐标为(x,x2+2x-3),
∵S△POC=4S△BOC,
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
∴|x|=4,x=±4.
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当x=-4时,x2+2x-3=16-8-3=5.
∴点P的坐标为(4,21)或(-4,5);
②设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(-3,0),C(0,-3)代入,
得
|
|
即直线AC的解析式为y=-x-3.
设Q点坐标为(x,-x-3)(-3≤x≤0),则D点坐标为(x,x2+2x-3),
QD=(-x-3)-(x2+2x-3)=-x2-3x=-(x+
3 |
2 |
9 |
4 |
∴当x=-
3 |
2 |
9 |
4 |
点评:此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题.此题难度适中,解题的关键是运用方程思想与数形结合思想.
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