题目内容
【题目】如图,抛物线y=a(x﹣h)2+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得△ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标.
(3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点?若是,请说明理由;若不是,请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=a(x﹣h)2+k顶点坐标为B(1,2),
∴y=a(x﹣1)2+2,
∵抛物线经过点A(0,1),
∴a(0﹣1)2+2=1,
∴a=﹣1,
∴此抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+2或y=﹣x2+2x+1;
(2)
解:∵A(0,1),C(1,0),
∴OA=OC,
∴△OAC是等腰直角三角形.
过点O作AC的垂线l,根据等腰三角形的“三线合一”的性质知:l是AC的中垂线,
∴l与抛物线的交点即为点P.
如图,直线l的解析式为y=x,
解方程组 ,
得 , (不合题意舍去),
∴点P的坐标为( , );
(3)
解:点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点.
由(1)知,点C的坐标为(1,0).
设直线AC的解析式为y=kx+b,
则 ,解得 ,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+1.
设与AC平行的直线的解析式为y=﹣x+m.
解方程组 ,
代入消元,得﹣x2+2x+1=﹣x+m,
∵此点与AC距离最远,
∴直线y=﹣x+m与抛物线有且只有一个交点,
即方程﹣x2+2x+1=﹣x+m有两个相等的实数根.
整理方程得:x2﹣3x+m﹣1=0,
△=9﹣4(m﹣1)=0,解之得m= .
则x2﹣3x+ ﹣1=0,解之得x1=x2= ,此时y= .
∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为( , ).
【解析】(1)由抛物线y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标是B(1,2)知:h=1,k=2,则y=a(x﹣1)2+2,再把A点坐标代入此解析式即可;(2)易知△OAC是等腰直角三角形,可得AC的垂直平分线是直线y=x,根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线y=x与抛物线的交点即为点P,解方程组即可求出P点坐标;(3)先求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标,再与P点的坐标比较进行判断.满足条件的点一定是与直线AC平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的,易求出直线AC的解析式,设出与AC平行的直线的解析式,令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解,求出交点坐标,通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点.