Question

如图，已知△OAB的顶点A（3，0），B（0，1），O是坐标原点．将△OAB绕点O按逆时针旋转90°得到△ODC．
（1）写出C，D两点的坐标；
（2）求过C，D，A三点的抛物线的解析式，并求此抛物线的顶点M的坐标；
（3）在线段AB上是否存在点N，使得NA=NM？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）C（-1，0），D（0，3）．
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）
∵A，C，D在抛物线上
∴解得a=-1，b=2，c=3
即y=-x²+2x+3
又y=-（x-1）²+4
∴M（1，4）．

（3）解：（法一）
连接MB，作ME⊥y轴于E
则ME=1，BE=4-1=3
∴MB=，BA=MB
即在线段AB上存在点N（0，1）（即点B）使得NA=NM．
（法二）
设在AB上存在点N（a，b）（0≤b≤1）使得NA=NM（即NA²=NM²）
作NP⊥OA于P，NQ⊥对称轴x=1于Q
则
∴NA²=b²+（3-a）²=10b²
NM²=（1-a）²+（4-b）²=10b²-20b+20
则10b²=10b²-20b+20
∴b=1
故在线段AB上存在点N（0，1）（即点B）使得NA=NM．
分析：（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得CD两点的坐标；
（2）设出解析式，并将A、C、D三点的坐标代入可得方程组，解可得解析式，进而可得M的坐标；
（3）假设存在并设出其坐标，连接MB，作ME⊥y轴于E，可得ME、BE、MB的长，进而可得BA与MB的关系，即可求出N的坐标，故可作出判断．
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．