题目内容

【题目】在△ABC中,CE,BD分别是边AB,AC上的高,F是BC边上的中点.

(1)指出图中的一个等腰三角形,并说明理由.

(2)若∠A=x°,求∠EFD的度数(用含x的代数式表达).

(3)猜想∠ABC和∠EDA的数量关系,并证明.

【答案】(1)DEF是等腰三角形;

(2)∠EFD=180°﹣2x°;

(3)ABC=∠EDA.

【解析】

试题分析:(1)根据直角三角形的性质得到EF=BC,DF=BC,等量代换即可;

(2)根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算;

(3)根据圆内接四边形的性质解答.

试题解析:(1)△DEF是等腰三角形.

∵CE,BD分别是边AB,AC上的高,F是BC边上的中点,

∴EF=BC,DF=BC,

∴EF=DF,

∴△DEF是等腰三角形;

(2)∵FE=FB,FD=FC,

∴∠FEB=∠FBE,∠FDC=∠FCD,

∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°,

∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°,

∴∠FED+∠FDE=360°﹣(180°﹣x°)﹣(180°﹣x°)=2x°,

∴∠EFD=180°﹣2x°;

(3)∠ABC=∠EDA.

∵∠BEC=∠BDC=90°,

∴B、E、D、C四点共圆,

∴∠ABC=∠EDA.

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