Question

已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的

1. A.
   内心
2. B.
   外心
3. C.
   重心
4. D.
   垂心

Answer 1

B
分析：连接BE．根据两个圆的半径相等和圆周角定理可以证明∠BAC=∠ABE，再结合三角形的外角的性质可以证明∠BEC=2∠BAC，从而肯定该圆一定过三角形的外心．
解答：如图，连接BE．
因为△ABC为锐角三角形，所以∠BAC，∠ABE均为锐角．
又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以∠BAC=∠ABE．
于是，∠BEC=∠BAC+∠ABE=2∠BAC．
若△ABC的外心为O₁，则∠BO₁C=2∠BAC，
所以⊙O一定过△ABC的外心．
故选B．
点评：此题综合运用了圆周角定理、三角形的外角的性质．