题目内容
如图,以Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O,A为BF |
AB |
AF |
求证:
(1)AE是⊙O切线;
(2)
BD |
CD |
BE |
EC |
(3)若⊙O直径为d,则
1 |
CD |
1 |
EC |
2 |
d |
分析:(1)要证AE是⊙O切线,只要证明AE⊥OA即可;
(2)根据已知利用相似三角形的判定,再根据相似比之间的转化从而得到结论;
(3)根据相似三角形的边对应成比例即可证得结论.
(2)根据已知利用相似三角形的判定,再根据相似比之间的转化从而得到结论;
(3)根据相似三角形的边对应成比例即可证得结论.
解答:证明:(1)连接AB,OA,
∵弧AB=弧AF,OA是⊙O的半径,
∴OA⊥BF.
∵AE∥EF,
∴AE⊥OA.
∵OA是⊙O的半径,
∴AE是⊙O切线.
(2)∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°.
∵AD⊥BC,
∴△ABD∽△ABC,△ACD∽△ABC.
∴AB2=BD•BC,AC2=CD•BC,
∴
=
①
∵AE是⊙O切线;
∴∠EAB=∠ECA.
∵∠E=∠E,
∴△ABE∽△AEC.
∴
=
,
∴
=
②
∵AE是⊙O切线.
∴AE2=BE•EC③
由①②③得,
=
;
(3)∵⊙O直径为d
∴
=
,
∴
+
=2,
∴
+
=
.
∵弧AB=弧AF,OA是⊙O的半径,
∴OA⊥BF.
∵AE∥EF,
∴AE⊥OA.
∵OA是⊙O的半径,
∴AE是⊙O切线.
(2)∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°.
∵AD⊥BC,
∴△ABD∽△ABC,△ACD∽△ABC.
∴AB2=BD•BC,AC2=CD•BC,
∴
AB2 |
AC2 |
BD |
CD |
∵AE是⊙O切线;
∴∠EAB=∠ECA.
∵∠E=∠E,
∴△ABE∽△AEC.
∴
AB |
AC |
AE |
EC |
∴
AB2 |
AC2 |
AE2 |
EC2 |
∵AE是⊙O切线.
∴AE2=BE•EC③
由①②③得,
BD |
CD |
BE |
EC |
(3)∵⊙O直径为d
∴
d-CD |
CD |
EC-d |
EC |
∴
d |
CD |
d |
EC |
∴
1 |
CD |
1 |
EC |
2 |
d |
点评:此题考查了圆的切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及比例式的变形等知识.
练习册系列答案
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(2002•内江)如图,以Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O,A为上一点,且=,AD⊥BC,垂足为D,过A作AE∥BF交CB的延长线于E.
求证:
(1)AE是⊙O切线;
(2);
(3)若⊙O直径为d,则.
求证:
(1)AE是⊙O切线;
(2);
(3)若⊙O直径为d,则.