题目内容
如图，以Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O，A为 |
| BF |
|
| AB |
|
| AF |
D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．求证：
（1）AE是⊙O切线；
（2）
| BD |
| CD |
| BE |
| EC |
（3）若⊙O直径为d，则
| 1 |
| CD |
| 1 |
| EC |
| 2 |
| d |
分析：（1）要证AE是⊙O切线，只要证明AE⊥OA即可；
（2）根据已知利用相似三角形的判定，再根据相似比之间的转化从而得到结论；
（3）根据相似三角形的边对应成比例即可证得结论．
（2）根据已知利用相似三角形的判定，再根据相似比之间的转化从而得到结论；
（3）根据相似三角形的边对应成比例即可证得结论．
解答：
证明：（1）连接AB，OA，
∵弧AB=弧AF，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥BF．
∵AE∥EF，
∴AE⊥OA．
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O切线．
（2）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△ABC，△ACD∽△ABC．
∴AB2=BD•BC，AC2=CD•BC，
∴
=
①
∵AE是⊙O切线；
∴∠EAB=∠ECA．
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△AEC．
∴
=
，
∴
=
②
∵AE是⊙O切线．
∴AE2=BE•EC③
由①②③得，
=
；
（3）∵⊙O直径为d
∴
=
，
∴
+
=2，
∴
+
=
．
证明：（1）连接AB，OA，∵弧AB=弧AF，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥BF．
∵AE∥EF，
∴AE⊥OA．
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O切线．
（2）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△ABC，△ACD∽△ABC．
∴AB2=BD•BC，AC2=CD•BC，
∴
| AB2 |
| AC2 |
| BD |
| CD |
∵AE是⊙O切线；
∴∠EAB=∠ECA．
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△AEC．
∴
| AB |
| AC |
| AE |
| EC |
∴
| AB2 |
| AC2 |
| AE2 |
| EC2 |
∵AE是⊙O切线．
∴AE2=BE•EC③
由①②③得，
| BD |
| CD |
| BE |
| EC |
（3）∵⊙O直径为d
∴
| d-CD |
| CD |
| EC-d |
| EC |
∴
| d |
| CD |
| d |
| EC |
∴
| 1 |
| CD |
| 1 |
| EC |
| 2 |
| d |
点评：此题考查了圆的切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及比例式的变形等知识．
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上一点，且
=
，AD⊥BC，垂足为
D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．
；
．
（2002•内江）如图，以Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O，A为
上一点，且
=
，AD⊥BC，垂足为D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．
求证：
（1）AE是⊙O切线；
（2）
；
（3）若⊙O直径为d，则
．
上一点，且=，AD⊥BC，垂足为D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．求证：
（1）AE是⊙O切线；
（2）
；（3）若⊙O直径为d，则
． 
上一点，且
=
，AD⊥BC，垂足为D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．
；
．
上一点，且
=
，AD⊥BC，垂足为D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．
；
．