如图1.抛物线y=-23x2+bx+c与x轴相交于点A.C.与y轴相交于点B.连接AB.BC.点A的坐标为(2.0).tan∠BAO=2.以线段BC为直径作⊙M交AB与点D.过点B作直线l∥AC.与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E.F．(1)求该抛物线的函数表达式,(2)求点C的坐标和线段EF的长,(3)如图2.连接CD并延长.交直线l于点N.点P.Q为射线NB上的两个动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•济南）如图1，抛物线y=-

x²+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB与点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求点C的坐标和线段EF的长；
（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．

分析：（1）根据点A的坐标和tan∠BAO=2求得AO=2，BO=4，从而求得点B的坐标为（0，4），利用待定系数法求得二次函数的解析式即可．
（2）首先根据抛物线的对称轴求得点A的对称点C的坐标，然后求得点B的对称点E的坐标为（-1，4），从而求得BE的长，得到EF的长即可；
（3）作点D关于直线l的对称点D₁（1，6），点C向右平移2个单位得到C₁（-1，0），连接C₁D₁与直线l交于点P，点P向左平移两个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．

解答：

解：（1）∵点A（2，0），tan∠BAO=2，
∴AO=2，BO=4，
∴点B的坐标为（0，4）．
∵抛物线y=-

x²+bx+c过点A，B，
∴

+2b+c=0

c=4

，
解得

b=-

c=4

，
∴此抛物线的解析式为y=-

x²-

x+4．

（2）∵抛物线对称轴为直线x=-

，
∴点A的对称点C的坐标为（-3，0），
点B的对称点E的坐标为（-1，4），
∵BC是⊙M的直径，
∴点M的坐标为（-

，2），
如图2，过点M作MG⊥FB，则GB=GF，
∵M（-

，2），
∴BG=

，
∴BF=2BG=3，
∵点E的坐标为（-1，4），
∴BE=1，
∴EF=BF-BE=3-1=2．

（3）四边形CDPQ的周长有最小值．
理由如下：∵BC=

OC2+OB2

32+42

=5，AC=CO+OA=3+2=5，
∴AC=BC，
∵BC为⊙M直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，
∴D为AB中点，
∴点D的坐标为（1，2）．
作点D关于直线l的对称点D₁（1，6），点C向右平移2个单位得到C₁（-1，0），连接C₁D₁与直线l交于点P，点P向左平移两个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．
设直线C₁D₁的函数表达式为y=mx+n（m≠0），
∴

-m+n=0

m+n=6

，

m=3

n=3

，
∴直线C₁D₁的表达式为y=3x+3，
∵y_p=4，
∴x_p=

，
∴点P的坐标为（

，4）；
C_{四边形CDPQ最小}=2

+2．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是题目中求根据对称轴求某点关于对称轴的对称点更是中考的热点考题之一，应加强训练．