Question

细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
（

1

）²+1=2，S₁=

1

2

（

2

）²+1=3，S₂=

2

2

（

3

）²+1=4，S₃=

3

2

（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA₁₀的长；
（3）求出S₁²+S₂²+S₂²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

分析：此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是

n

，然后利用面积公式可得．
由同述OA₂=

2

，0A₃=

3

…可知OA₁₀=

10

．
S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值就是把面积的平方相加就可．

解答：解：（1）(

n

)2+1=n+1（1分）
Sn=

n

2

（n是正整数）（2分）

（2）∵OA1=

1

，OA2=

2

，OA3=

3

，…
∴OA10=

10

（3分）

（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²
=(

1

2

)2+(

2

2

)2+(

3

2

)2+…+(

10

2

)2（5分）
=

1

4

(1+2+3+…+10)
=

55

4

．（6分）

点评：此题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．千万不可盲目计算．