Question

如图所示．AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：E，F关于AD对称．

Answer 1

证法一：连接EF交AD于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD．
在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（AAS）．
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）．
∴在△AGE和△AGF中，
．
∴△AGE≌△AGF（SAS）．
∴∠AGE=∠AGF，EG=FG．
又∵∠AGE+∠AGF=180°，
∴∠AGE=∠AGF=90°．
∴AD垂直平分EF．
∴E，F关于AD对称（如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称）．

证法二：连接EF交AD于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD．
在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（AAS）．
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）．
∴AD垂直平分EF（三线合一）．
∴E，F关于AD对称（如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称）．
分析：先证明Rt△ADE≌Rt△ADF，再证明△AGE≌△AGF，所以AD垂直平分EF，∴E，F关于AD对称（如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称）．
点评：要想证明其对称，就要证明那两条线段相等，且与AD垂直．