题目内容
(2013•丹东一模)已知:在Rt△ABC,∠ABC=90°,∠C=60°,现将一个足够大的直角三角板的顶点P放在斜边AC上.
(1)设三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N.
①当点P是AC的中点时,分别作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,得到图1,写出图中的一对全等三角形;
②在①的条件下,写出与△PEM相似的三角形,并直接写出PN与PM的数量关系.
(2)移动点P,使AP=2CP,将三角板绕点P旋转,设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N(PM不与边AB垂直,PN不与边BC垂直);或者三角板的两直角边分别交边AB、BC的延长线与点M、N.
③请在备用图中画出图形,判断PM与PN的数量关系,并选择其中一种图形证明你的结论;
④在③的条件下,当△PCN是等腰三角形时,若BC=3cm,则线段BN的长是
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201311/14/1fb5f47f.png)
(1)设三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N.
①当点P是AC的中点时,分别作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,得到图1,写出图中的一对全等三角形;
②在①的条件下,写出与△PEM相似的三角形,并直接写出PN与PM的数量关系.
(2)移动点P,使AP=2CP,将三角板绕点P旋转,设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N(PM不与边AB垂直,PN不与边BC垂直);或者三角板的两直角边分别交边AB、BC的延长线与点M、N.
③请在备用图中画出图形,判断PM与PN的数量关系,并选择其中一种图形证明你的结论;
④在③的条件下,当△PCN是等腰三角形时,若BC=3cm,则线段BN的长是
1cm或5cm
1cm或5cm
.![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201311/14/1fb5f47f.png)
分析:(1)①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°,∠APE=∠C=60°,根据AAS推出两三角形全等即可.
②求出AB=
BC,求出PE=
BC,PF=
AB,推出
=
=
,求出∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF,∠PEM=∠PFN=90°,根据相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM,推出
=
=
,即可得出答案.
(2)③过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,求出△AEP∽∠PFC,推出
=
=2,设CF=x,则PE=2x,求出PF=
x,证△PEM∽△PFN,推出
=
=
即可.
④求出CP=2cm,分为两种情况:第一种情况:当N在线段BC上时,得出△PCN是等边三角形,求出CN=CP=2cm,代入BN=BC-CN求出即可;第二种情况:当N在线段BC的延长线上时,求出CN=PC=2cm,代入BN=BC+CN求出即可.
②求出AB=
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
PE |
PF |
BC |
AB |
1 | ||
|
PM |
PN |
PE |
PF |
1 | ||
|
(2)③过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,求出△AEP∽∠PFC,推出
AP |
PC |
PE |
PF |
3 |
PM |
PN |
PE |
PF |
2
| ||
3 |
④求出CP=2cm,分为两种情况:第一种情况:当N在线段BC上时,得出△PCN是等边三角形,求出CN=CP=2cm,代入BN=BC-CN求出即可;第二种情况:当N在线段BC的延长线上时,求出CN=PC=2cm,代入BN=BC+CN求出即可.
解答:(1)解:①△AEP≌△PFC,
理由是:∵P为AC中点,
∴AP=PC,
∵PE⊥AB,PF⊥BC,∠B=90°,
∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°,
∴PF∥AB,PE∥BC,
∴∠APE=∠C=60°,
在△AEP和△PFC中
∴△AEP≌△PFC(AAS).
②△PFN∽△PEM,PN=
PM,
理由是:∵在Rt△ACB中,∠ABC=90°,∠C=60°,
∴AB=
BC,
∵PE∥BC,PF∥AB,P为AC中点,
∴E为AB中点,F为BC中点,
∴PE=
BC,PF=
AB,
∴
=
=
,
∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°,
∴∠EPF=90°,
∵∠MPN=90°,
∴∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF,
∵∠PEM=∠PFN=90°,
∴△PFN∽△PEM,
∴
=
=
,
∴PN=
PM.
(2)③PM=2PN,如图,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201311/183/4b90e0d5.png)
证明:过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,
∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°,
∴PE∥BC,
∴∠APE=∠C,
∴△AEP∽∠PFC,
∴
=
=
=2,
设CF=x,则PE=2x,
在Rt△PFC中,∠C=60°,∠PFC=90°,
∴PF=
x,
∵在四边形BFPE中,∠BFP=∠B=∠BEP=90°,
∴∠EPF=90°,
即∠EPM+∠MPF=90°,
∵∠NPF+∠MPF=90°,
∴∠NPF=∠EPM,
∵∠MEP=∠PFN=90°,
∴△PEM∽△PFN,
∴
=
=
=
,
∴PM=
PN.
④解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=60°,BC=3cm,
∴AC=2BC=6cm,
∵AP=2PC,
∴CP=2cm,
分为两种情况:第一种情况:当N在线段BC上时,如图![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201311/183/4b90e0d5.png)
∵△PCN是等腰三角形,∠C=60°,CP=2cm,
∴△PCN是等边三角形,
∴CN=CP=2cm,
∴BN=BC-CN=3cm-2cm=1cm;
第二种情况:当N在线段BC的延长线上时,如图,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201311/184/70212ac7.png)
∵∠PCN=180°-60°=120°,
∴要△PCN是等腰三角形,只能PC=CN,
即CN=PC=2cm,
∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm,
即BN的长是1cm或5cm,
故答案为:1cm或5cm.
理由是:∵P为AC中点,
∴AP=PC,
∵PE⊥AB,PF⊥BC,∠B=90°,
∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°,
∴PF∥AB,PE∥BC,
∴∠APE=∠C=60°,
在△AEP和△PFC中
|
∴△AEP≌△PFC(AAS).
②△PFN∽△PEM,PN=
3 |
理由是:∵在Rt△ACB中,∠ABC=90°,∠C=60°,
∴AB=
3 |
∵PE∥BC,PF∥AB,P为AC中点,
∴E为AB中点,F为BC中点,
∴PE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
PE |
PF |
BC |
AB |
1 | ||
|
∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°,
∴∠EPF=90°,
∵∠MPN=90°,
∴∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF,
∵∠PEM=∠PFN=90°,
∴△PFN∽△PEM,
∴
PM |
PN |
PE |
PF |
1 | ||
|
∴PN=
3 |
(2)③PM=2PN,如图,
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201311/183/4b90e0d5.png)
证明:过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,
∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°,
∴PE∥BC,
∴∠APE=∠C,
∴△AEP∽∠PFC,
∴
AP |
PC |
PE |
PF |
2PC |
PC |
设CF=x,则PE=2x,
在Rt△PFC中,∠C=60°,∠PFC=90°,
∴PF=
3 |
∵在四边形BFPE中,∠BFP=∠B=∠BEP=90°,
∴∠EPF=90°,
即∠EPM+∠MPF=90°,
∵∠NPF+∠MPF=90°,
∴∠NPF=∠EPM,
∵∠MEP=∠PFN=90°,
∴△PEM∽△PFN,
∴
PM |
PN |
PE |
PF |
2 | ||
|
2
| ||
3 |
∴PM=
2
| ||
3 |
④解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=60°,BC=3cm,
∴AC=2BC=6cm,
∵AP=2PC,
∴CP=2cm,
分为两种情况:第一种情况:当N在线段BC上时,如图
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201311/183/4b90e0d5.png)
∵△PCN是等腰三角形,∠C=60°,CP=2cm,
∴△PCN是等边三角形,
∴CN=CP=2cm,
∴BN=BC-CN=3cm-2cm=1cm;
第二种情况:当N在线段BC的延长线上时,如图,
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201311/184/70212ac7.png)
∵∠PCN=180°-60°=120°,
∴要△PCN是等腰三角形,只能PC=CN,
即CN=PC=2cm,
∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm,
即BN的长是1cm或5cm,
故答案为:1cm或5cm.
点评:本题考查了等边三角形性质和判定,等腰三角形性质和判定,三角形中位线,相似三角形的性质和判定的应用,题目综合性比较强,有一定的难度.用了分类讨论思想.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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