Question

已知，DE是等腰直角三角形ABC的中位线，将△BED沿AB翻折使E落在F处，如图①，再将△ABC绕B点逆时针旋转α°（0＜α＜90°），连接AF，DC，如图②．
（1）观察猜想，∠AFB与∠BDC大小关系______（直接出正确结论）；
（2）当α=30时，试判断△BDC的形状；
（3）在（2）的条件下，若DG=1，求DF的长．

Answer 1

解：（1）∵DE是等腰直角三角形ABC的中位线，将△BED沿AB翻折使E落在F处，
∴∠EDB=∠A=∠FDB=45°，∠DBE=∠DBF=90°，FD=DE，
∴FB=BE=BD，
∠CBD+∠ABD=90°，∠ABD+∠ABF=90°，
∴∠CBD=∠ABF，
在△CBD和△ABF中
∵，
∴△CBD≌△ABF（SAS），
∴∠AFB=∠BDC．
故答案为：∠AFB=∠BDC；

（2）如图②，延长BD至M使DM=BD，连接MC，则BM=2DB，
∵DE是等腰直角三角形ABC的中位线，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵BM=BC，BC=2BD，BC=2CE，BE=BD，
∴BC=BM，
∵∠CBE=30°，
∴∠DBC=60°，
∴△BMC为等边三角形，
∴DC⊥BD，
∴△DCB直角三角形；

（3）设DB=a，∴BC=2a，
∴，
∴，
∵∠AFB=∠BDC，
∴∠AFB=90°，
∴AF∥DB，
∴，
∵DG=1，
∴FG=，
∴．
分析：（1）利用旋转的性质得出对应线段相等以及得出∠CBD=∠ABF，BF=BD，再由全等三角形的判定与性质得出△CBD≌△ABF即可得出答案；
（2）延长BD至M使DM=BD，连接MC，首先得出△BDE是等腰直角三角形，进而得出△BMC为等边三角形，即可得出△BDC的形状；
（3）首先设DB=a，则BC=2a，利用勾股定理得出DC长，再由AF∥DB，则，求出FG即可得出DF的长．
点评：此题主要考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识，利用图形旋转前后对应线段以及对应角相等得出△BMC为等边三角形是解题的关键．