Question

【题目】已知：如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A在x轴正半轴上,点C在第一象限,且∠COA=60°,以OA、OC为邻边作菱形OABC,且菱形OABC的面积为.

(1)求B. C两点的坐标；

(2)动点P从C点出发沿射线CB匀速运动，同时动点Q从A点出发沿射线BA的方向匀速运动，P、Q两点的运动速度均为2个单位/秒，连接PQ和AC，PQ和AC所在直线交于点D，点E为线段BQ的中点，连接DE，设动点P、Q的运动时间为t，请将△DQE的面积S用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点Q作QF⊥y轴于点F，当t为何值时，以P、B.、F.、Q为顶点的四边形为平行四边形?

Answer 1

【答案】（1）点C的坐标为：(3,3),点B的坐标为：(9,3)；（2）S=；（3）当t=0或4s时，以P.B. F. Q为顶点的四边形为平行四边形.

【解析】

（1）如图1，过点C作CD⊥OA于点D，解直角三角形求出OD、CD的长即可解决问题．

（2）分两种情形讨论即可①如图2中，当0≤t≤3时．②如图3中，当t>3时．分别想办法构建方程即可解决问题．

（3）分三种情形①如图4中，当0≤t≤3时．②当t>3时，由PB=QF时．③当点Q在y轴左侧时，构建PB=QF构建方程即可解决问题．

(1)如图1，过点C作CD⊥OA于点D，

设菱形OABC的边长为x，则OA=OC=BC=x，

∵∠COA=60°，

∴CD=OCsin60°=x，

∵菱形OABC的面积为，

∴xx=，

解得：x=±6，

∴OA=OC=BC=6，

∴CD=6×=3,OD=OCcos60°=3，

∴点C的坐标为：(3,3),点B的坐标为：(9,3)；

(2)①如图2中,当0t3时,作PK∥AB交AC于K，则△PCK是等边三角形。作DH⊥AB于H.

∵PK=PC=AQ，∠PDK=∠ADQ，∠KPD=∠DQA，

∴△PDK≌△QDA，

∴DK=AD= (62t)=3t,DH=ADsin60°= (3t),EQ=BQ= (6+2t)=3+t，

∴S=QEDH=.

②如图3中,当t>3时,作PK∥AB交AC于K，则△PCK是等边三角形。作DH⊥AB于H.

由△PDK≌△QDA，

∴DK=AD= (2t6)=t3,DH=ADsin60°= (t3),EQ=BQ= (6+2t)=3+t，

∴S=QEDH=.

综上所述,S= .

(3)①如图4中，当0t3时，作QK⊥OA于K.则AK=t，FQ=OK=6t，

当PB=FQ时，四边形PBQF是平行四边形，

∴62t=6t，解得t=0.

②当t>3时，由PB=QF时，2t6=6t，解得t=4，

③当点Q在y轴左侧时，由PB=QF可得，t6=2t6，解得t=0，此种情形不存在.

综上所述，当t=0或4s时，以P、B、 F.、Q为顶点的四边形为平行四边形.