题目内容
【题目】如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．
（1）填空：b= ，c= ；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；
（4）如图②，点N的坐标为（﹣
，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．
【答案】（1）b=
，c=4；（2）△APQ不可能是直角三角形，理由见解析；（3）t=
；（4）Q′（
， 
）．
【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣
代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；
（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；
（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=
t，AG=
t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=
t，MD=PE=3+
t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（4）连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到EH=
QO=
t，RH∥OQ，NR=
AP=
t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4），
将a=﹣
代入得：y=﹣
x2+
x+4，
∴b=
，c=4．
（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．
理由如下：连结QC．
∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，
∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ=90°．
将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，
∴C（0，4）．
∵AP=OQ=t，
∴PC=5﹣t，
∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2=PQ2，
∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5．
∵由题意可知：0≤t≤4，
∴t=4.5不和题意，即△APQ不可能是直角三角形．
（3）如图所示：
过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E=∠D=90°．
∵PG∥y轴，
∴△PAG∽△ACO，
∴
，即
，
∴PG=
t，AG=
t，
∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣
t+t=3+
t，DF=GP=
t．
∵∠MPQ=90°，∠D=90°，
∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，
∴∠DMP=∠EPQ．
又∵∠D=∠E，PM=PQ，
∴△MDP≌PEQ，
∴PD=EQ=
t，MD=PE=3+
t，
∴FM=MD﹣DF=3+
t﹣
t=3﹣
t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+
t﹣
t=3+
t，
∴M（﹣3﹣
t，﹣3+
t）．
∵点M在x轴下方的抛物线上，
∴﹣3+
t=﹣
×（﹣3﹣
t）2+
×（﹣3﹣
t）+4，解得：t=
．
∵0≤t≤4，
∴t=
．
（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．
∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，
∴EH=
QO=
t，RH∥OQ．
∵A（﹣3，0），N（﹣
，0），
∴点N为OA的中点．
又∵R为OP的中点，
∴NR=
AP=
t，
∴RH=NR，
∴∠RNH=∠RHN．
∵RH∥OQ，
∴∠RHN=∠HNO，
∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．
设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得： 
，
解得：m=
，n=4，
∴直线AC的表示为y=
x+4．
同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．
设直线NR的函数表达式为y=
x+s，将点N的坐标代入得： 
×（﹣
）+s=0，解得：s=2，
∴直线NR的表述表达式为y=
x+2．
将直线NR和直线BC的表达式联立得： 
，解得：x=
，y=
，
∴Q′（
， 
）．
