Question

（2007•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x²-4x+3=0的两根（OB＜OC）．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平面内有M（1，-2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，∠MCD=45°，求直线AD的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）解方程x²-4x+3=0就可以求出x的值，即B，C的横坐标，就可以得到B，C的坐标．
（2）以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形，O、C的坐标已知，就可以写出Q的坐标．
（3）过A作AH⊥x轴于H点，可以证出△CAB∽△CMD，得到，
在直角△AHC中，根据勾股定理得出AC，就可以求出OD的长．
根据待定系数法就可以求出函数解析式．
解答：解：（1）x²-4x+3=0，得x=3或1，
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）；

（2）存在．
Q₁（3，3）或；

（3）过A作AH⊥x轴于H点．
则AH=CH=6，∴∠ACB=45°，
同理可证：∠DCM=45°，
∴∠ACB=∠DCM．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴（1分）
在△AHC中，，
同理，（1分）
∴，
∴，
∴，．  （1分）
设AD的解析式为y=kx+b（k≠0），则，
∴，
∴y=-x+．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式．运用了相似三角形的对应边的比相等，就可以求出．