Question

如图，Rt△ABC在平面直角坐标系中，BC在x轴上，B (－1，0)、A (0，2)，AC⊥AB．

（1）求线段OC的长；

（2）点P从B点出发以每秒4个单位的速度沿x轴正半轴运动，点Q从A点出发沿线段AC以每秒个单位的速度向点C运 动，当一点停止运动，另一点也随之停止，设△CPQ的面 积为S，两点同时运动，运动的时间为t秒，求S与t之间关系式，并写出自变量取值范围；

（3）Q点沿射线AC按原速度运动，⊙G过A、B、Q三点，是否有这样的t值使点P在⊙G上、如果有求t值，如果没有说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）4（2）S=2t²-t+5（0＜t＜），S=-2t²+t-5（＜t＜2），t=或t=2时C、P、Q都在同一直线上，S=0（3）当t=时，点P在圆G上

【解析】（1）∵AC⊥AB，

∴∠ABO+∠ACO=90°，

∵∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠BAO=∠ACO∠ABO=∠COO，

∴△AOB∽△COA，

∴

∵B（-1，0）、A（0，2），

∴OA=2，OB=1，

∴，

∴OC=4；………………………………3分

（2）①当P在BC上，Q在线段AC上时，（0＜t＜）过点Q作QD⊥BC于D，

如图所示，则CQ=2-t，CP=5-4t，

由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，

所以S=CP•QD=（5-4t）（2-t），

即S=2t²-t+5（0＜t＜）；………………………………5分

②当P在BC延长线上，Q在线段AC上时（＜t＜2），过点Q作QD⊥BC于D，

如图所示，则CQ=2-t，CP=4t-5，

由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，

所以S=CP•QD=（4t-5）（2-t），

即S=-2t²+t-5（＜t＜2），………………………………7分

③当t=或t=2时C、P、Q都在同一直线上，S=0．………………………………8分

（3）若点P在圆G上，因为AC⊥AB，所以BQ是直径，所以∠BPQ=Rt∠，即PQ⊥BC，

则BP²+PQ²=BQ²=BA²+AQ²，

得|4t|²+|2-t|²=()²+(t)²，

解得t₁=，t₂=-（不合题意，舍去）

所以当t=时，点P在圆G上．………………………………10分

（也可以在（2）的基础上分类讨论，利用相似求得）

（1）利用△AOB∽△COA即可求得OC=4．

（2）分当P在BC上，Q在线段AC上时、当P在BC延长线上，Q在线段AC上时、当C、P、Q都在同一直线上利用△CQD∽△CAO求得t值即可．

（3）若点P在圆G上，因为AC⊥AB，所以BQ是直径，所以∠BPQ=Rt∠，即PQ⊥BC，则BP²+PQ²=BQ²=BA²+AQ²，得到有关t的式子求解即可．