Question

（2011•翔安区质检）如图，⊙0的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙0的切线，切点为C，连接AC，BC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）探究：当点P在AB的延长线上运动时，是否总存在∠PCB=∠CAB？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据切线的性质可知OC⊥PC，则△OPC为直角三角形，OC=3，可根据锐角三角函数的定义求出PC的值；
（2）存在，有切线的性质可知∠PCO=∠OCB+∠PCB=90°，再有圆周角定理可得∠ACB=90°，又因为圆的半径相等即可证明∠PCB=∠CAB．

解答：（1）解：连接OC，
∵PC为⊙0的切线，
∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，
又∠CPA=30°，AB=6，
∴在Rt△PCO中，tan∠CPA=

OC

PC

，
∴PC=

OC

tan∠CPA

=

3

tan30°

=3

3

，

（2）存在．
∵PC为⊙O的切线，
∴∠PCO=∠OCB+∠PCB=90°
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠PCB+∠OCB=∠CAB+∠ABC=90°
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCB=∠CAB．

点评：此题考查的是直角三角形的性质、特殊角的锐角三角函数以及切线定理，属于基础题．