题目内容

【题目】如图,直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为( )

A.(﹣3,0)
B.(﹣6,0)
C.(﹣ ,0)
D.(﹣ ,0)

【答案】C
【解析】解:(方法一)作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.

令y= x+4中x=0,则y=4,

∴点B的坐标为(0,4);

令y= x+4中y=0,则 x+4=0,解得:x=﹣6,

∴点A的坐标为(﹣6,0).

∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,

∴点C(﹣3,2),点D(0,2).

∵点D′和点D关于x轴对称,

∴点D′的坐标为(0,﹣2).

设直线CD′的解析式为y=kx+b,

∵直线CD′过点C(﹣3,2),D′(0,﹣2),

∴有 ,解得:

∴直线CD′的解析式为y=﹣ x﹣2.

令y=﹣ x﹣2中y=0,则0=﹣ x﹣2,解得:x=﹣

∴点P的坐标为(﹣ ,0).

故选C.

(方法二)连接CD,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.

令y= x+4中x=0,则y=4,

∴点B的坐标为(0,4);

令y= x+4中y=0,则 x+4=0,解得:x=﹣6,

∴点A的坐标为(﹣6,0).

∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,

∴点C(﹣3,2),点D(0,2),CD∥x轴,

∵点D′和点D关于x轴对称,

∴点D′的坐标为(0,﹣2),点O为线段DD′的中点.

又∵OP∥CD,

∴点P为线段CD′的中点,

∴点P的坐标为(﹣ ,0).

故选C.

(方法一)根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,再由中点坐标公式求出点C、D的坐标,根据对称的性质找出点D′的坐标,结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式,令y=0即可求出x的值,从而得出点P的坐标.

(方法二)根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,再由中点坐标公式求出点C、D的坐标,根据对称的性质找出点D′的坐标,根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点,由此即可得出点P的坐标.

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