Question

（1）猜想在锐角三角形ABC中，cosA+cosB+cosC与sinA+sinB+sinC的大小关系如何，并验证你的猜想；
（2）如图所示，已知边长是2a的正三角形ABC沿直线L滚动，你能设法求出∠DAC+∠A₂AC的度数吗？不妨试一试．

Answer 1

解：（1）猜想：cosA+cosB+cosC＜sinA+sinB+sinC．
验证：如∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°时，
cosA+cosB+cosC≈1.485，而sinA+sinB+sinC≈2.572，
故成立；

（2）过点D作DE⊥L于点E，过点A₂作A₂F⊥L于点F，
∴tan∠DAC=．
∴∠DAC≈19.1°，∠A₂AC≈10.9°．
故∠DAC+∠A₂AC=19.1°+10.9°=30°．
分析：（1）猜想：cosA+cosB+cosC＜sinA+sinB+sinC．代入具体的值进行验证；
（2）图形虽然复杂，但有规律可循，过点D作DE⊥L于点E，过点A₂作A₂F⊥L于点F，由于tan∠DAC=DE：AE，tan∠A₂AC=A₂F：AF，故可求得∠DAC与∠A₂AC的度数．
点评：主要考查了直角三角形中相关知识，关键是把复杂的问题抽象到解直角三角形中．