题目内容
如图1,四边形ABCD、DEFG都是正方形,且C、D、E在同一条直线上,连接AE、CG.
(1)猜想AE与CG的数量关系和位置关系,并给予说明.
(2)把正方形ABCD绕点D旋转到如图2所示的位置,上述结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(1)猜想AE与CG的数量关系和位置关系,并给予说明.
(2)把正方形ABCD绕点D旋转到如图2所示的位置,上述结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
考点:正方形的性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质
专题:
分析:(1)根据正方形的性质可得AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°,然后利用“边角边”证明△ADE和△CDG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=CG,全等三角形对应角相等可得∠CGD=∠AED,延长AE交CG于M,根据∠CGD+∠DCG=90°求出∠AED+∠DCG=90°,然后求出∠CME=90°,再根据垂直的定义即可得解;
(2)根据正方形的性质可得AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°,然后求出∠ADE=∠CDG,然后利用“边角边”证明△ADE和△CDG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=CG,全等三角形对应角相等可得∠CGD=∠AED,延长AE交CG于M,延长GC交ED的延长线于N,根据∠CGD+∠N=90°求出∠AED+∠N=90°,然后求出∠CME=90°,再根据垂直的定义即可得解.
(2)根据正方形的性质可得AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°,然后求出∠ADE=∠CDG,然后利用“边角边”证明△ADE和△CDG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=CG,全等三角形对应角相等可得∠CGD=∠AED,延长AE交CG于M,延长GC交ED的延长线于N,根据∠CGD+∠N=90°求出∠AED+∠N=90°,然后求出∠CME=90°,再根据垂直的定义即可得解.
解答:解:(1)AE=CG,AE⊥CG.
理由如下:∵四边形ABCD、DEFG都是正方形,
∴AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°,
∵在△ADE和△CDG中,
,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG,∠CGD=∠AED,
延长AE交CG于M,
∵∠CGD+∠DCG=90°,
∴∠AED+∠DCG=90°,
∴∠EMC=180°-(∠AED+∠DCG)=180°-90°=90°,
∴AE⊥CG;
(2)结论还成立.
理由如下:∵四边形ABCD、DEFG都是正方形,
∴AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°,
∴∠ADC-∠ADG=∠GDE-∠ADG,
即∠ADE=∠CDG,
∵在△ADE和△CDG中,
,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG,∠CGD=∠AED,
延长AE交CG于M,延长GC交ED的延长线于N,
∵∠CGD+∠N=90°,
∴∠AED+∠N=90°,
∴∠EMN=180°-(∠AED+∠N)=180°-90°=90°,
∴AE⊥CG.
理由如下:∵四边形ABCD、DEFG都是正方形,
∴AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°,
∵在△ADE和△CDG中,
|
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG,∠CGD=∠AED,
延长AE交CG于M,
∵∠CGD+∠DCG=90°,
∴∠AED+∠DCG=90°,
∴∠EMC=180°-(∠AED+∠DCG)=180°-90°=90°,
∴AE⊥CG;
(2)结论还成立.
理由如下:∵四边形ABCD、DEFG都是正方形,
∴AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°,
∴∠ADC-∠ADG=∠GDE-∠ADG,
即∠ADE=∠CDG,
∵在△ADE和△CDG中,
|
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG,∠CGD=∠AED,
延长AE交CG于M,延长GC交ED的延长线于N,
∵∠CGD+∠N=90°,
∴∠AED+∠N=90°,
∴∠EMN=180°-(∠AED+∠N)=180°-90°=90°,
∴AE⊥CG.
点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,以及垂直的定义,熟记正方形的性质确定出三角形全等的条件是解题的关键.
练习册系列答案
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B、
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C、
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D、
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