题目内容

(2004•镇江)已知抛物线y=mx2-(m-5)x-5(m>0)与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2),与y轴交于点C,且AB=6.
(1)求抛物线和直线BC的解析式;
(2)在给定的直角坐标系中,画出抛物线和直线BC;
(3)若⊙P过A、B、C三点,求⊙P的半径;
(4)抛物线上是否存在点M,过点M作MN⊥x轴于点N,使△MBN被直线BC分成面积比为1:3的两部分?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)本题要先依据根与系数的关系表示出x1+x2、x1•x2的值,然后依据AB=6,即x2-x1=6来求出m的值,进而得出A、B两点的坐标.然后根据A、B、C的坐标用待定系数法求出抛物线和执行BC的解析式;
(2)经过选点、描点、连线画出函数图象即可;
(3)根据圆和抛物线的对称性可知:圆心P必在抛物线的对称轴上,因此可设出圆心P的纵坐标(其横坐标为抛物线对称轴的值),然后用坐标系中两点间的距离公式求出PB、PC的长,因为PB、PC均为半径,因此两者相等,由此可得出关于P点纵坐标的方程,即可求出P点的坐标;
(4)如果设MN与直线BC相交于E,本题要分两种情况进行讨论:
①S△MEB:S△ENB=1:3;②S△MEB:S△ENB=3:1.
可先根据直线BC的解析式设出E点的坐标,然后依据上面的分析的两种情况分别可得出一个关于E点坐标的方程,经过解方程即可得出E点的坐标.
解答:解:(1)由题意得:x1+x2=,x1•x2=,x2-x1=6
则(x1+x22-4x1x2=36,(2+=36
解得:m1=1,m2=-
经检验m=1,
∴抛物线的解析式为:y=x2+4x-5
或:由mx2-(m-5)x-5=0得,x=1或x=-
∵m>0,
∴1-=6,
∴m=1.
∴抛物线的解析式为y=x2+4x-5
由x2+4x-5=0得x1=-5,x2=1
∴A(-5,0),B(1,0),C(0,-5).
设直线BC的解析式为y=kx+b,


∴直线BC的解析式为y=5x-5;

(2)如图1;

(3)如图2,由题意,圆心P在AB的中垂线上,即在抛物线y=x2+4x-5的对称轴直线x=-2上,
设P(-2,-h)(h>0),(6分)
连接PB、PC,则PB2=(1+2)2+h2,PC2=(5-h)2+22
由PB2=PC2
即(1+2)2+h2=(5-h)2+22,解得h=2.
∴P(-2,-2),
∴⊙P的半径PB==

(4)如图3,设MN交直线BC于点E,点M的坐标为(t,t2+4t-5),则点E的坐标为(t,5t-5).
若S△MEB:S△ENB=1:3,则ME:EN=1:3.
∴EN:MN=3:4,
∴t2+4t-5=(5t-5).
解得t1=1(不合题意舍去),t2=
∴M().
若S△MEB:S△ENB=3:1,则ME:EN=3:1.
∴EN:MN=1:4,
∴t2+4t-5=4(5t-5).
解得t3=1(不合题意舍去),t4=15,
∴M(15,280).
∴存在点M,点M的坐标为()或(15,280).
点评:本题考查了一次函数和二次函数解析式的确定、一元二次方程根与系数的关系、三角形的外心、图形的面积的求法等知识点,主要考查了学生分类讨论、数形结合的数学思想方法.
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