Question

如图所示,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=∠D=90°,以AB 为直径的⊙O与CD相切于P,若AD=m,BC=n,CD=a.

    求证:(1)PC、PD是关于x的方程:x²-ax+mn=0的两根;

(2)a²=4mn.

Answer 1

(1)连结OP.∵CD切⊙O于P,∴OP⊥CD,

∵AD⊥CD,BC⊥CD,∴AD∥OP∥BC.

又∵OA=OB,∴PC=PD,

∵CD=a,∴PC+PD=CD=a,

连结PA、PB,∵AB是⊙O 的直径,∴∠APB=90°,∴∠APD+∠BPC=90°,

∵∠D=90°,∴∠APD+∠PAD=90°,∴∠PAD=∠BPC,

又∵∠D=∠C=90°,∴△PAD∽△BPC,

∴ ,∴PD·PC=AD·BC.

∵AD=m,BC= n,∴PD·PC=m·n,

故PC、PD是关于x的方程x²-ax+mn=0的两根.

(2)∵CD=PD+PC,PD=PC,CD=a,∴PC=,∴PC²=,又PC²=PC·PD,PD·PC=m·n,

∴ =mn,∴a²=4mn.

    点拨:此题是学科内综合题,是一元二次方程,两三角形相似的识别法,切线的性质及与圆有关的性质的综合应用,通过本题加深了这些知识的联系和沟通,提高了应用能力.