Question

22、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．在学习《中点四边形》时，小明和小亮产生了很大的意见分歧：
小明说：如果一个四边形的中点四边形是菱形，则原四边形一定是矩形；
小亮说：如果一个四边形的中点四边形是菱形，则原四边形一定是对角线相等的四边形，而不一定是矩形．
（1）你认为谁的观点错误的，请画图举一个反例，并作简单说明

反例如图

．
（2）如果该四边形的对角线互相垂直，则中点四边形为

矩形

．
（3）如果该四边形的对角线相等，则中点四边形为

菱形

．
（4）如果该四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形为

正方形

．

Answer 1

分析：（1）中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质；
（2）当原四边形的对角线相等时，中点四边形的形状为菱形；
（3）当原四边形的对角线垂直时，中点四边形的形状为矩形；
（4）如果该四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形为 正方形．

解答：解：（1）我认为小明的观点是错误的，反例如图所示．
在等腰梯形ABCD中
AC=BD，
∵M、Q是AB、AD的中点，
∴MQ∥BD，MQ=BD，
同理NP∥BD，NP=BD，
可得四边形MNPQ是平行四边形，
再由MN=PN可得四边形MNPQ是菱形，
（2）∵四边形的对角线互相垂直，
∴它的中点四边形为矩形，
（3））∵四边形的对角线相等，
∴它的中点四边形为菱形，
（4））∵四边形的对角线互相垂直且相等，
∴它的中点四边形为正方形．

点评：本题考查了三角形的中位线的性质及特殊四边形的判定，解题的关键是牢记中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质．