Question

己知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙0交AB于点D．
（1）若tan∠ABC=，AC=6，求线段BD的长．
（2）若点E为线段BC的中点，连接DE．求证：DE是⊙0的切线．

Answer 1

（1）解：∵tan∠ABC=，AC=6，
∴BC=8，
由勾股定理得：AB=10，
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴BC是圆O的切线，
∵BDA是圆的割线，
∴BC²=BD×AB，
∴BD=6.4，
答：线段BD的长是6.4．

（2）证明：连接OD、CD，
∵AC为圆O的直径，
∴∠CDA=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BC=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠ECD+∠DCO=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是圆0的切线．
分析：（1）根据锐角三角函数和勾股定理求出BC、AB，根据切割线定理求出BD即可；
（2）连接OD、CD，根据圆周角定理求出∠CDA=∠BDC=90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠ECD=∠EDC，∠OCD=∠ODC即可．
点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．