题目内容

如图1,点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点,在直线n上找一点C,使BC=kAB(k为常数),连接AC,在直线AC上任取一点E,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F.
(1)请说明∠AFE=∠ABE的理由;
(2)当k=1时,探究线段EF与EB的数量关系,并加以说明;
(3)当k≠1时,探究线段EF与EB的比值,请说明理由. 

【答案】分析:(1)根据两直线平行,内错角相等求出∠FAB=∠ABC,∠BEF=∠ABC,所以可得到∠FAB=∠FEB,设AB、EF相交于点O,可以利用两角对应相等两三角形相似证明△AOF∽△EOB,然后根据相似三角形的对应角相等即可证明;
(2)过点E作ED⊥m,EP⊥AB,根据k=1可知AB=BC,再根据对边对等角的性质∠BAC=∠ACB,又两直线平行,内错角相等,可以证明AE平分∠DAP,所以ED=EP,然后证明△FDE与△EPB全等,根据全等三角形对应边相等即可证明;
(3)连接FB.设AB与EF交于点O,利用(1)的结论先证明△AOF∽△EOB,根据相似三角形对应边成比例得到,再根据两边对应成比例,夹角相等证明△ACB∽△FBE,再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可得到线段EF、EB与线段AB、BC的关系.
解答:解:(1)∵m∥n,
∴∠FAB=∠ABC,
∵∠FEB=∠ABC,
∴∠FAB=∠FEB,
∵∠AOF=∠EOB,
∴△AOF∽△EOB,
∴∠AFE=∠ABE;

(2)作ED⊥m,EP⊥AB,
∵k=1,
∴AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB,
∵m∥n,
∴∠DAE=∠ACB,
∴∠DAE=∠BAC,
∴ED=EP(角平分线上的点到角的两边的距离相等),
在△FDE和△EPB中,
∴△FDE≌△EPB(AAS),
∴EF=EB(全等三角形对应边相等);

(3)连接FB,设AB与EF交于点O,
在△AOF和△EOB中,
∴△AOF∽△EOB,

又∵∠AOE=∠FOB,
∴△AOE∽△FOB,
∴∠CAB=∠EFB,
∵∠FEB=∠ABC,
∴△ACB∽△FBE,

点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,平行线的性质,综合性较强,对同学们的图形识别能力有较高的要求,难度较大.
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