Question

阅读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S_△ABC表示△ABC的面积．

∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCA
又∵S_△OAB=

1

2

AB•r，S_△OBC=

1

2

BC•r，S_△OCA=

1

2

CA•r
∴S_△ABC=

1

2

AB•r+

1

2

BC•r+

1

2

CA•r=

1

2

l•r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁、a₂、a₃、…、a_n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

Answer 1

分析：（1）根据上述三角形的内切圆的半径公式，由已知条件，结合勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．可以首先求得其面积是30，其周长是5+12+13=30．再根据其公式代入计算；
（2）同样连接圆心和四边形的各个顶点以及圆心和的切点，根据四边形的面积等于四个直角三角形的面积进行计算；
（3）根据上述方法和结论，即可猜想到：任意多边形的内切圆的半径等于其面积的2倍除以多边形的周长．

解答：解：（1）以5，12，13为边长的三角形为直角三角形，易求得r=

2×30

5+12+13

=2；

（2）连接OA，OB，OC，OD，并设内接圆半径为r，
可得S_{四边形ABCD}=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA
=

1

2

a•r+

1

2

b•r+

1

2

c•r+

1

2

d•r=

1

2

（a+b+c+d）•r．
∴r=

2s

a+b+c+d

；

（3）猜想：r=

2s

a1+a2+…+an

．

点评：考查了学生由特殊推广到一般的能力，掌握多边形的内切圆的半径的计算方法．