Question

如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为(5，5

3

)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求∠BAO的度数．
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．
（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个？请说明理由．

Answer 1

（1）∵顶点B的坐标为(5，5

3

)，AB=10，
∴sin∠BAO=

5 3

10

=

3

2

，
∴∠BAO=60度．

（2）点P的运动速度为2个单位/秒．

（3）过P作PM⊥x轴，
∵点P的运动速度为2个单位/秒．
∴t秒钟走的路程为2t，即AP=2t，
又∵∠APM=30°，
∴AM=t，又OA=10，
∴OM=（10-t），即为三角形OPQ中OQ边上的高，
而DQ=2t，OD=2，可得OQ=2t+2，
∴P（10-t，

3

t）（0≤t≤5），
∵S=

1

2

OQ•OM=

1

2

（2t+2）（10-t），
=-（t-

9

2

）²+

121

4

．
∴当t=

9

2

时，S有最大值为

121

4

，此时P（

11

2

，

9 3

2

）．

（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个．
①当点P与点A重合时，∠OPQ＜90°，
当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，
作∠OPM=90°交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，
由△OPH∽△OPM得：OM=

20 3

3

=11.5，
所以OQ＞OM，从而∠OPQ＞90度．
所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ=90°的点P有1个．
②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ=12+

10 3

3

=17.8，
而构成直角时交y轴于（0，

35 3

3

），

35 3

3

=20.2＞17.8，
所以∠OCQ＜90°，从而∠OPQ=90°的点P也有1个．
所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90°的点P有2个．