题目内容

(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=6,AE=2
3 |
(3)在第(2)小题的条件下,则图中阴影部分的面积为
8π-12
3 |
8π-12
.3 |
分析:(1)连结OD,由OA=OD得∠OAD=∠ODA,由AD平分∠CAM得∠OAD=∠DAE,则∠ODA=∠DAE,所以DO∥AB,利用DE⊥AB得到DE⊥OD,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)连结DC,先利用勾股定理计算出AD=4
,由AC是⊙O直径得到∠ADC=90°,易证得△ACD∽△ADE,利用相似比可计算出AC,即可得到圆的半径;
(3)连结OB,由AE=2
,AD=4
可得∠AED=60°,而AD平分∠CAM,易得∠EAO=120°,则∠OAB=60°,所以△OAB为等边三角形,于是∠AOB=60°,
然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S扇形OAB-S△OAB进行计算即可.
(2)连结DC,先利用勾股定理计算出AD=4
3 |
(3)连结OB,由AE=2
3 |
3 |
然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S扇形OAB-S△OAB进行计算即可.
解答:(1)证明:连结OD,如图,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAM,
∴∠OAD=∠DAE,
∴∠ODA=∠DAE.
∴DO∥AB,
∵DE⊥AB,
∴DE⊥OD,
∵OD是半径,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:∵∠AED=90°,DE=6,AE=2
,
∴AD=
=
=4
,
连结CD,
∵AC是⊙O直径,
∴∠ADC=90°,
而∠AED=90°,
又∵∠CAD=∠DAE,
∴△ACD∽△ADE,
∴
=
,即
=
,
解得AC=8
.
∴⊙O的半径4
;
(3)连结OB,如图,
在Rt△ADE中,AE=2
,AD=4
,
∴∠ADE=30°,
∴∠AED=60°,
而AD平分∠CAM,
∴∠EAO=120°,
∴∠OAB=60°,
∴△OAB为等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∴阴影部分的面积=S扇形OAB-S△OAB
=
-
×(4
)2
=8α-12
.
故答案为8π-12
.

∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAM,
∴∠OAD=∠DAE,
∴∠ODA=∠DAE.
∴DO∥AB,
∵DE⊥AB,
∴DE⊥OD,
∵OD是半径,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:∵∠AED=90°,DE=6,AE=2
3 |
∴AD=
DE2+AE2 |
62+(2
|
3 |
连结CD,
∵AC是⊙O直径,
∴∠ADC=90°,
而∠AED=90°,
又∵∠CAD=∠DAE,
∴△ACD∽△ADE,
∴
AD |
AE |
AC |
AD |
4
| ||
2
|
AC | ||
4
|
解得AC=8
3 |
∴⊙O的半径4
3 |
(3)连结OB,如图,
在Rt△ADE中,AE=2
3 |
3 |
∴∠ADE=30°,
∴∠AED=60°,
而AD平分∠CAM,
∴∠EAO=120°,
∴∠OAB=60°,
∴△OAB为等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∴阴影部分的面积=S扇形OAB-S△OAB
=
60•π•(4
| ||
360 |
| ||
4 |
3 |
=8α-12
3 |
故答案为8π-12
3 |
点评:本题考查了圆的切线的判定:过半径的外端点,与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了勾股定理、扇形的面积公式以及三角形相似的判定与性质.

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