Question

（2005•东城区一模）已知二次函数y=a（x+1）²+m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，顶点为M，直线MC的解析式为y=kx-3，且直线MC与x轴交于点N，sin∠BCO=

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．
（1）求直线MC及二次函数的解析式；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P（异于点C），使以点P、N、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线MC的解析式y=kx-3得C（0，-3），在Rt△BOC中，已知OC=3，解直角三角形求B点坐标及m的值，确定M点的坐标，再求直线MC的解析式；
（2）存在这样的点P．根据直线MC的解析式，判断△CON为等腰直角三角形，再分别过N、C两点作直线CN的垂线，与抛物线相交，求垂线的解析式，联立垂线解析式与二次函数解析式，求P点坐标．

解答：解：（1）由直线MC的解析式y=kx-3，得C（0，-3）．
设OB=t，
∵sin∠BCO=

OB

BC

=

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=

1

10

，
∴BC=

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t，则OC=3t．
∵OC=3，∴3t=3，
∴t=1．∴OB=1．
∵点B（1，0），C（0，-3）都在二次函数的图象上，
∴

4a+m=0 a+m=-3

，解得a=1，m=-4，
∴二次函数的解析式为：y=x²+2x-3．
∵点M（-1，-4）在直线MC上，
∴-4=-k-3即k=1．
∴直线MC的解析式为：y=x-3；

（2）存在这样的点P．
①由于∠CNO=45°，则N（3，0），在y轴上取点D（0，3），连接ND交抛物线于点P（如图）．
∴PNC=90°．
直线ND的解析式为：y=-x+3．
解方程组

y=-x+3 y=x2+2x-3

，
解得

x1= -3+ 33 2 y1= 9- 33 2

，

x2= -3- 33 2 y2= 9+ 33 2

；
②由于点A是二次函数图象与x轴的另一交点，故A（-3，0）．连接AC（如图），∠ACN=90°，点A就是所求的点
P（-3，0）．
综上，满足条件的点为P₁（-3，0），P₂（

-3+ 33

2

，

9- 33

2

），P₃（

-3- 33

2

，

9+ 33

2

）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是运用待定系数法，解直角三角形求直线、抛物线解析式，根据抛物线上点的坐标特点，形数结合，分类讨论求P点坐标．