题目内容

【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于点C(0,5).

(1)求该抛物线所对应的函数关系式;

(2)D是笫一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合),过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连结BD、CD.设点D的横坐标为m,△BCD的面积为S.

①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围;

②当m为何值时,S有最大值,并求这个最大值;

③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2:3的两部分?若能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】(1)抛物线的函数关系式为y=﹣x2+4x+5;

(2)①S关于m的函数关系式为s=﹣m2+m (0<m<5);

②当m=时,S有最大值,S最大值=

③直线BC能把△BDF分成面积之比为2:3的两部分,点D的坐标为()或(

【解析】(1)由抛物线与x轴的两个交点坐标可设抛物线的解析式y=a(x+1)(x-5),将点C(0,3)代入抛物线解析式中即可得出关于a一元一次方程,解方程即可求出a的值,从而得出抛物线的解析式;

(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b,结合点B、点C的坐标,利用待定系数法求出直线BC的函数解析式,再由点横坐标为m得出点D、点E的坐标,结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式,即可得出结论; 由 的结论,利用配方法将S关于m的函数关系式进行变形,从而得出结论;

结合图象可知△BDE和△BFE是等高的,由此得出它们的面积比=DE:EF,分两种情况考虑,根据两点间的距离公式即可得出关于m的分式方程,解方程即可得出m的值,将其代入到点D的坐标中即可得出结论.

(1)∵抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,5),

∴设y=a(x+1)(x﹣5),

∴5=a(0+1)(0﹣5),

解得a=﹣1,

∴抛物线的函数关系式为y=﹣(x+1)(x﹣5),

即y=﹣x2+4x+5;

(2)①设直线BC的函数关系式为y=kx+b,则

解得

∴y=﹣x+5,

设D(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣m+5),

∴DE=﹣m2+4m+5+m﹣5=﹣m2+5m

∴s=(﹣m2+5m)=﹣m2+m (0<m<5);

②s=﹣m2+m=

∴当m=时,S有最大值,S最大值=

③∵△BDE和△BFE是等高的,

∴它们的面积比=DE:EF,

(ⅰ)当DE:EF=2:3时,

解得:(舍),

此时,D();

(ⅱ)当DE:EF=3:2时,

解得:(舍),

此时,D().

综上所述,点D的坐标为()或().

“点睛”本题属于二次函数综合题,主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点间的公式以及三角形的面积公式的综合应用,解题的关键是运用待定系数法求解析式;找出直线BC的函数解析式;运用配方法解决问题.解题时注意分类讨论的思想的运用.

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