题目内容
【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于点C(0,5).
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)D是笫一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合),过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连结BD、CD.设点D的横坐标为m,△BCD的面积为S.
①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围;
②当m为何值时,S有最大值,并求这个最大值;
③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2:3的两部分?若能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的函数关系式为y=﹣x2+4x+5;
(2)①S关于m的函数关系式为s=﹣m2+m (0<m<5);
②当m=时,S有最大值,S最大值=;
③直线BC能把△BDF分成面积之比为2:3的两部分,点D的坐标为()或()
【解析】(1)由抛物线与x轴的两个交点坐标可设抛物线的解析式y=a(x+1)(x-5),将点C(0,3)代入抛物线解析式中即可得出关于a一元一次方程,解方程即可求出a的值,从而得出抛物线的解析式;
(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b,结合点B、点C的坐标,利用待定系数法求出直线BC的函数解析式,再由点横坐标为m得出点D、点E的坐标,结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式,即可得出结论; 由 的结论,利用配方法将S关于m的函数关系式进行变形,从而得出结论;
结合图象可知△BDE和△BFE是等高的,由此得出它们的面积比=DE:EF,分两种情况考虑,根据两点间的距离公式即可得出关于m的分式方程,解方程即可得出m的值,将其代入到点D的坐标中即可得出结论.
(1)∵抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,5),
∴设y=a(x+1)(x﹣5),
∴5=a(0+1)(0﹣5),
解得a=﹣1,
∴抛物线的函数关系式为y=﹣(x+1)(x﹣5),
即y=﹣x2+4x+5;
(2)①设直线BC的函数关系式为y=kx+b,则
解得,
∴y=﹣x+5,
设D(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣m+5),
∴DE=﹣m2+4m+5+m﹣5=﹣m2+5m
∴s=(﹣m2+5m)=﹣m2+m (0<m<5);
②s=﹣m2+m=,
∵,
∴当m=时,S有最大值,S最大值=;
③∵△BDE和△BFE是等高的,
∴它们的面积比=DE:EF,
(ⅰ)当DE:EF=2:3时,
即,
解得:(舍),
此时,D();
(ⅱ)当DE:EF=3:2时,
即,
解得:(舍),
此时,D().
综上所述,点D的坐标为()或().
“点睛”本题属于二次函数综合题,主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点间的公式以及三角形的面积公式的综合应用,解题的关键是运用待定系数法求解析式;找出直线BC的函数解析式;运用配方法解决问题.解题时注意分类讨论的思想的运用.
【题目】一件进价为100元的商品,先按进价提高20%作为标价,但因销量不好,又决定按标价降价20%出售。那么这次生意的盈亏情况是每件( )
A. 不亏不赚 B. 亏了4元 C. 赚了4元 D. 赚了6元
【题目】甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛,在相同条件下各小组的成绩如下表所示,若要从中选择一个小组参加年级的比赛,那么应选( )
甲组 | 乙组 | 丙组 | 丁组 | |
平均分 | 85 | 90 | 88 | 90 |
方差 | 3.5 | 3.5 | 4 | 4.2 |
A. 甲组B. 乙组C. 丙组D. 丁组
【题目】某工厂计划生产A,B两种产品共10件,其生产成本和利润如下表:
A种产品 | B种产品 | |
成本(万元/件) | 2 | 5 |
利润(万元/件) | 1 | 3 |
(1)若工厂计划获利14万元,问A,B两种产品应分别生产多少件?
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元,且获利多于14万元,问工厂有哪几种生产方案?
(3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润.