题目内容
【题目】已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
【答案】(1)△ABC是等腰三角形;(2)△ABC是直角三角形;(3)x1=0,x2=-1.
【解析】试题分析:(1)直接将x=-1代入得出关于a,b的等式,进而得出a=b,即可判断△ABC的形状;
(2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式,进而判断△ABC的形状;
(3)利用△ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可.
试题解析:(1)△ABC是等腰三角形;
理由:∵x=-1是方程的根,
∴(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0,
∴a+c-2b+a-c=0,
∴a-b=0,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形;
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,
∴4b2-4a2+4c2=0,
∴a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形;
(3)当△ABC是等边三角形,∴(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,可整理为:
2ax2+2ax=0,
∴x2+x=0,
解得:x1=0,x2=-1.
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