Question

操作实验：
如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称，所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．
归纳结论：
如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：
（1）如图（4），在△ABC中，AB=AC，试说明∠B=∠C的理由；

探究应用：
（2）如图（5），CB⊥AB，垂足为A，DA⊥AB，垂足为B．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．
（i）BE与AD是否相等，为什么？
（ii）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（iii）∠DBC与∠DCB相等吗试？说明理由．

Answer 1

解：（1）思考验证：

过A点作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴∠B=∠C；
（2）探究应用：

（i）说明：因为CB⊥AB，
∴∠CBA=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵DA⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∴∠ADB+∠1=90°．
∴∠ADB=∠2．
在△ADB和△BEC中，
△DAB≌△EBC（ASA）．
∴DA=BE．
（ii）∵E是AB中点，
∴AE=BE．
∵AD=BE，
∴AE=AD．
在△ABC中，因为AB=AC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∴∠BAC=∠DAC．
在△ADC和△AEC中，，
∴△ADC≌△AEC（SAS）．
∴DC=CE．
C在线段DE的垂直平分线上．
∵AD=AE，
∴A在线段DE的垂直平分线上．
∴AC垂直平分DE．
（iii）∵AC是线段DE的垂直平分线，
∴CD=CE．
∵△ADB≌△BEC，
∴DB=CE．
∴CD=BD．
∴∠DBC=∠DCB．