Question

现有直径为2的半圆O和一块等腰直角三角板
（1）将三角板如图1放置，锐角顶点P在圆上，斜边经过点B，一条直角边交圆于点Q，则BQ的长为

2

；
（2）将三角板如图2放置，锐角顶点P在圆上，斜边经过点B，一条直角边的延长线交圆于Q，则BQ的长为

2

．

Answer 1

分析：（1）连接OQ、BQ，由于∠QPB=45°，根据圆周角定理得∠QOB=90°，则△QOB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得BQ=

2

OB=

2

；
（2）连接AQ、OQ、BQ，由于∠QPB的外角为45°，根据圆内接四边形的性质得到∠A=45°，再根据圆周角定理得∠QOB=90°，则△QOB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得BQ=

2

OB=

2

．

解答：解：（1）连接OQ、BQ，如图，
∵∠QPB=45°，
∴∠QOB=90°，
∴△QOB为等腰直角三角形，
而OB=1，
∴BQ=

2

OB=

2

；

（2）连接AQ、OQ、BQ，
∵∠QPB的外角为45°，
∴∠A=45°，
∴∠QOB=90°，
∴△QOB为等腰直角三角形，
而OB=1，
∴BQ=

2

OB=

2

．
故答案为

2

；

2

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了等腰直角三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质．